この電磁気学の問題を解いてください。

質問

半径aの無限に長い円柱が電荷密度pで一様に帯電しているときの電場を求める。円柱の中心軸をz軸にとる。z軸から距離rだけ離れた点P(x,y,0)の電場を考える点Pが円柱の内部にある時、点Pにおける電場の大きさを求めよ。また、電場ベクトル→E(x,y,z)=(Ex,Ey,Ez)を記せ。
よろしくお願いします。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

こんばんはです。

円柱の内部、r＜aの時、
軸方向に単位長で半径rの部分が持つ電荷は、πρr^2になる。
（半径rで、軸方向の長さが1である、円筒の体積はπr^2なので、これにρを掛けたのが、その内部にある電荷量になる！！）
ほいで、ガウスの法則を使うと、
　∫E(r)・dS = -πρr^2/ε
　E(r)・2πr = -πρr^2/ε
　E(r) = -ρr/(2ε)

r≧aの時、
　∫E(r)・dS = -ρπa^2/ε0
　E(r)・2πr = -ρπa^2/ε0
　E(r) = -ρa^2/(2ε0・r)

で、
E(x,y,z)にするときには、
　Ex = E(r)・x/r
　Ey = E(r)・y/r
　Ez = 0
とすればOKです。
なお、r = √(x^2+y^2)

お礼

ありがとうございます！助かりました。

回答No.2

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

ついでに、No.1さんの発展
>>（半径rで、軸方向の長さが1である、円筒の体積はπr^2なので、これにρを掛けたのが、その内部にある電荷量になる！！）

軸方向の長さがLの場合は円筒の体積はπLr^2
また、閉曲面の有効面積がL倍になるからLが相殺されるため、軸方向の長さを1にして考えても良い

これは、円柱の軸に垂直な面(底面)は、クーロンの法則によりEを積分すると∫E・dS＝0となるため、ガウスの法則では円柱の側面部分しか計算に影響してこないことによる

つまり、円柱の軸方向の長さは任意の大きさで計算してよいことになるため、多くの説明では計算しやすい"長さ1"を採用している

お礼

ありがとうございます！参考にさせていただきます。