自明ではない線形結合

質問

以下に示された関数は、実数軸上で線形従属な関数である。自明ではない線形結合を用いて，
総和がゼロになることを示せ。

(1) f (x) = 2x , g (x) = 3x^2 , h (x) = 5x -8x^2

(2) f (x) = 0 , g (x) = sinx , h (x) = e^x

C1 * f (x) + C2 * g (x) + C3 * h (x) =0が成り立つC1、C2、C3を求めればいいことは分かりますが
どうやってC1、C2、C3を求めればいいか分かりません。

回答No.1

funoe · ベストアンサー

１）

　1/2　×　ｆ（ｘ）　＝　ｘ　で
　1/3　×　ｇ（ｘ）　＝　ｘ＾２　だから

　5×（1/2×ｆ（ｘ））　-8×（1/3×ｇ（ｘ））＝5ｘ-８ｘ＾２＝ｈ（ｘ）

　ってことは、
　5/2　×ｆ（ｘ）　－8/3×ｇ（ｘ）　－　ｈ（ｘ）　＝　０　ってことでは。

２）

　１　×　ｆ（ｘ）　＋　０×ｇ（ｘ）　＋　０×ｈ（ｘ）　＝　０　な気がする。

　全然見当違いのこと書いてたらごめんなさいね。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

noname#221368

(1)はOKですよね？(^^)。

　(2)についてはsinxとe^xは絶対に従属ではなく、0は任意の関数に従属なのでそんな馬鹿な！、・・・っと思ったのですが(^^；)、f(x)＝0は、任意の関数に「独立かつ従属な」関数でした。皆さんの仰る通りです。

　(2)は少々トリッキーでひっかけっぽいけど、線形空間における0ベクトル（関数0）の特殊性に注意を向けさせる問題なのかな？。あるいは、独立・従属の定義を、定義通りに適用できるかを試す問題？・・・。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

178-tall

>(1) f (x) = 2x , g (x) = 3x^2 , h (x) = 5x -8x^2

たとえば目算で…。
　h(x) = 5x - 8x^2 = (5/2)*f(x) - (8/3)*g(x)
だろうから、
　6*h(x) - 25*f(x) + 16*g(x) = 0
とか。

無理に整係数とする必要もなさそうだけど…。

>(2) f (x) = 0 , g (x) = sinx , h (x) = e^x

非零数 k を使い、
　k*f(x) + 0*g(x) + 0*sinx = 0
とでもするのかしらん？

お礼

ありがとうございました。