放物線と直線のもんだいです。

質問

問題　点（１、１）を通る傾きmの直線と、放物線y＝１/2(x^2)とで囲まれる部分の面積をSとする。Sを最小にするmの値と、そのときのSの値を求めよ。

解答　（１、１）を通る傾きmの直線はy＝m（xー１）＋１だから、放物線との交点のx座標は
1/2(x^2)＝m（x-1)+1の解である・・・・・(1)　整理してx＾２ー２mx-２＝０よって
x＝m±√（m＾２ー２m＋２）　これをα、β（α＜β）とおくと、(1)より
m（x－１）＋１ー１/2x＾２＝ー１/2(xーα）（xーβ）となることから、
　　　β　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　β
S=∫　　［m（xー１）＋１ー１/2(x^2)］dx＝ー１/2∫　（xーα）（x－β）dx
　　　α　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　α

＝１/2×１/6(βーα）＾３＝１/12［２√（m＾２ー２m＋２）］＾３＝２/3［√（m－１）＾２＋１］＾３
よって、Sが最小になるとき、m＝１、S＝２/3
質問
(1)y＝m（x－１）＋１このときm≠０と表記する必要があるのではないか。
(2)α、βが虚数になる場合のmの値が存在するか確かめる必要があるのではないか。（この問題ではmがどんな値でもα、βは実数となる） よろしくお願いします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

＞(1)y＝m（x－１）＋１このときm≠０と表記する必要があるのではないか。
これは必要ありません。
実際に、m＝ 0を代入すれば、直線の式は y＝ 1となって放物線と 2点で交わります。

というよりも、必要になるとすれば
「y軸に平行となる直線は考えなくてよい（点(1, 1/2)と 1点でしか交わらないため）」

こちらではないでしょうか？
y＝ m(x- 1)+ 1で表される直線には、y軸に平行な直線は含まれていません。

＞(2)α、βが虚数になる場合のmの値が存在するか確かめる必要があるのではないか。
＞（この問題ではmがどんな値でもα、βは実数となる） よろしくお願いします。
α, βが虚数になるということは、交点の x座標が虚数ということになります。
これは、いま考えている平面では考えることができません。

これも言い換えれば、
「囲む部分が存在するためには、
導いた xの 2次方程式が異なる 2つの実数解持たなければならない」

ということです。
問題によっては、この条件から mの値の範囲を絞り込むことになります。

いまの問題では、図を描けばわかるように、
直線が y軸に平行な直線とならない限りは囲む部分が必ず存在します。
（放物線の「内側」に必ず通るべき点があるため）

お礼

よくわかりました。本当にありがとうございました。

回答No.2

info22_

>(1/2)x^2＝m（x-1)+1・・・・・(1)　
>の解である。
>整理して
>x^2-2mx-2＝0

これは間違い。正しくは
　x^2-2mx+2m-2=0

>よって
>x=m±√(m^2-2m+2）

　=m±√((m-1)^2+1)
(ルート内＞0なのでこれは共に実数解)　

>これをα、β（α＜β）とおくと、
>(1)より

「(1)より」はダメ！
α≦x≦βでは
　y=m(x-1)+1
のグラフの方が
　y=(1/2)x^2
のグラフの上方に存在する。
つまり、
　m(x-1)+1≧(1/2)x^2
yのグラフの大きい方から小さい方を引くと
>m（x－１）＋１ー１/2x＾２＝ー１/2(xーα）（xーβ）
>となることから、

　…

とした方がいいでしょう。

>(1)y＝m（x－１）＋１このときm≠０と表記する必要があるのではないか。

m≠0と表記してはため。
m=0の時も　直線は y=1 となり、y=(1/2)x^2と２交点を持つから、除外してはいけない。
(1,1)を通る直線のうち、上記の表現では　x=1を表せないので、
「直線x=1はy=(1/2)x^2と一点(1,1/2)でしか交わらないので題意から 直線x=1は覗かれる。」
と触れておいた方がいいでしょう。

>(2)α、βが虚数になる場合のmの値が存在するか確かめる必要があるのではないか。（この問題ではmがどんな値でもα、βは実数となる）

α,β=m±√((m-1)^2+1)
で√内>0なのでα,βは２つとも実数であることが自明なので、
α,βを求めてあれば、確かめる必要は無いでしょう。

お礼

間違いがあってすいませんでした。丁寧な解説で考えかたの整理ができました。ありがとうございました。