慶應経済、二次関数の問題です

質問

f(X)=1/4｛X-2(2k-1)｝^2-k^2+4k-1 　
のとき
X≧0　に対して常に　f(X)≧0　が成り立つ条件を求めるとき

2(2k-1)≦0　かつ　f(0)≧0
または
2(2k-1)＞0　かつ　f（2(2k-1)）≧0

が成り立てばよいそうなのですが、何故そう言えるのかわかりやすくお教えくださいますようお願いします

回答No.1

OHANABATAKE10 · ベストアンサー

これを図示すると、下に凸の放物線になります。
頂点の座標は、ｘ＝２（２ｋ-1）、ｙ＝-ｋ＾2+4ｋ-1　です。
頂点の位置が、ｘ座標でマイナス側にあるときとプラス側にあるときで分けて考える必要があります。
（自分で放物線の図を書いてください。）

１）頂点の位置がｘ座標でマイナス側にあるとき
　即ち、2(2k-1)≦0　のとき、
　X≧0　に対して常に　f(X)≧0　を満たすためには、
　（頂点のｙ座標に関係なく）
　ｘ＝0のとき、ｙ＝f(0)≧0　でなければなりません。・・・・・・・(1)　

２）頂点の位置がｘ座標でプラス側にあるとき
　即ち、2(2k-1)＞0　のとき
　X≧0　に対して常に　f(X)≧0　を満たすためには、
　頂点のｙ座標は、0以上でなければなりません。
　即ち、f（2(2k-1)）≧0　・・・・・・・(2)

(1)、(2)　より
　2(2k-1)≦0　かつ　f(0)≧0
　または
　2(2k-1)＞0　かつ　f（2(2k-1)）≧0

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/para_episode3.htm

お礼

とてもわかりやすかったです
ありがとうございました

回答No.2

spring135

＞2(2k-1)≦0　かつ　f(0)≧0

これは中心軸が負（x=2(2k-1)≦0)のときで、その場合はx軸と交わっても、交わらなくてもy軸との交点のy座標は正ならば（f(0)≧0）x≧0の範囲ではf(X)≧0だということです。

とにかくこの問題は２次関数を絵にかくことで一目瞭然です。

＞または
＞2(2k-1)＞0　かつ　f（2(2k-1)）≧0

これは中心軸が正（x=2(2k-1)>0)のときで、その場合は最少となる点（中心軸での値）（f（2(2k-1)）≧0）ならばよいといっているわけです。

お礼

ありがとうございました