• 締切済み
  • すぐに回答を!

三次関数の問題です

解答を教えてください!よろしくお願いします。 kは定数とする. f(x)=2x^3+3kx^2-6x-2kはx=αで極大値をとり、x=βで極小値をとるとする. (1)αβの値を求めよ.またα+βをkを用いて表せ。 (2)f(x)を(1/6)f’(x)で割った余りを求めよ. (3)f(α)f(β)をkを用いて表せ. (4)f(x)=0は異なる3個の実数解をもつことを示せ. よろしければ解答を教えてください! よろしくお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数337
  • ありがとう数0

みんなの回答

  • 回答No.2

f(x)=2x^3+3kx^2-6x-2kはx=αで極大値をとり、x=βで極小値をとるとする. (1)αβの値を求めよ.またα+βをkを用いて表せ。 f'(x)=6x^2+6kx-6 α,βはf'(x)=0の2根である。これより x^2+kx-1=0     D=k^2+4>0 よってα,βは異なる実解。           (1) 解と係数の関係より αβ=-1、α+β=-k (2) (2)f(x)を(1/6)f’(x)で割った余りを求めよ. (1/6)f’(x)=x^2+kx-1 f(x)を(1/6)f’(x)で割った商は2x+k余りは-(k^2+4)x-k つまり f(x)=(2x+k)(x^2+kx-1)-(k^2+4)x-k (3)f(α)f(β)をkを用いて表せ. α,βはx^2+kx-1=0の解であるので f(α)=-(k^2+4)α-k, f(β)=-(k^2+4)β-k f(α)f(β)=[(k^2+4)α+k][(k^2+4)β+k] =(k^2+4)^2αβ+(k^2+4)k(α+β)+k^2 (2)をもちいて f(α)f(β)=-(k^2+4)^2-(k^2+4)k^2+k^2 =-2k^4-11k^2-16 (3) (4)f(x)=0は異なる3個の実数解をもつことを示せ. (3)より f(α)f(β)=-2k^4-11k^2-16=-2(k^2+11/4)^2-7/8<0 これは極小値と極大値が異なる符号を有していることを示しており、 y=f(x)がxの増加とともに-∞(x=-∞)→+(極大値、x=α)→-(極小値、x=β)→+(x=∞) という変化をすることを示しており、(増減表、グラフで示すこと) (1)と合わせてf(x)=0は異なる3個の実数解をもつ。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 微分の問題

    3次関数f(x)=x^3-ax^2+ax-3aがあり、g(x)=f(x)-xf´(x)とする。ただしaを定数とする。 (1)g(x)を求めよ。 g(x)=-2x^3+ax^2-3a (2)a>0とする。g(x)の極大値、極小値をaを用いて表せ。 極大値(5/27)a^2-3a 極小値-3a (3)a≠0とする。方程式g(x)=0が異なる2つの実数解をもつとき、定数aの値とその時の実数解を求めよ。 (1)(2)はあってますか? また、この問題の(3)を教えてください。

  • 3次関数が極値をもつ必要十分条件

    3次関数f(x)が極値をもつ⇔f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつ なんですよね? これは、f'(x)=0が実数解α、β(α≠β)をもつとき、f(α)、f(β)は極値となる、ということにはならないんでしょうか? 例えば、 3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとるとき、定数a,b,c,dの値を求めよ。 という問題で、 x=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとる⇒f'(0)=0、f'(2)=0 つまりf'(x)=0が異なる2つの実数解をもつのだから、しかもf(0)=2、f(2)=-6という条件も代入しているのだから、a,b,c,dを求めた後に確認をする必要があるというのが理解できません…

  • 三次関数の問題です。教えて下さい。

    3次関数f(x)=xの三乗-(a+3)xの二乗+3ax-2b(a,bは定数)があり、 f′(2)=-3を満たしている。 関数f(x)の極大値をM、極小値をmとする。M-2m=7であるときのbの値を求めよ。 また、x≦bにおけるf(x)の最大値がbの二乗-15であるときbの値を求めよ。 また、x≦bにおけるf(x)の最大値がbの二乗-15であるときbの値を求めよ。の部分 の考え方と解き方が分かりません・・ 詳しい解説を書いていただけると嬉しいです。 よろしくお願いします。

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

解答があれば解き方はどうでもいいんだね?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 微分の問題なんですが・・・

    kを実数の定数とし、 f(x)=e^(2x)-8e^x+kx とおく (1)f’(x)を求めよ (2)f(x)が極大値と極小値をもつようなkの値を求めよ (3)kが(2)の範囲を動くとき、f(x)の極大値と極小値の 和の最小値とそのときのkの値を求めよ (1)は解けました。(2)は0<k<8ではないかと思います。しかし(3)が解けません。どのようにして解くのか教えてください。お願いします。

  • 三次関数

    三次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cはx=1で極大値1をとり、x=3で極小値をとる。このときa,b,cの値と極小値を求めよ。 という問題です。答えa=-6,b=9,c=-3,f(3)=-3 答えだすのは問題ないんですけど、丁寧な模範解答にこう書かれていました。 「y=f(x)がx=1,3で極値をとるならばf’(1)=f’(3)=0が成立します。(f’(1)=f’(3)=0をそれぞれ計算し、a,bの値をだした後)、 a,bの値を出した直後はまだ必要条件だから、実際に x=1,3の前後でf’(x)の符号変化が起きているどうかを確認しておくべきです。十分性の確認というやつですね」 そこで質問ですが、問題文に「x=1で極大値1をとり、x=3で極小値をとる。」とあるんだから、普通に前後で符号の変化が起こることが分かるのに、なぜわざわざ確認しないといけないんですか? 極値と、そこで傾きが0になる、は同値ではないことは理解しています。 だれかご教授お願いします!

  • 関数の増減と極大・極小の問題です

    関数の増減と極大・極小の問題です 方程式2x^3-3x^2-12x+5-p=0が正の解を1個、異なる負の解を2個もつような定数pの値の範囲を求めよ、という問題です。 増減表を埋めて、x=-1のとき極大値12-p、x=2のとき極小値-15-p というところまでは解ったのですが、(この時点で間違えているかもしれません(汗 その後のpの求め方がわかりません。 解説よろしくお願いします。

  • 微分の問題

    方程式x^3-3ax+a=0が異なる3個の実数解を持つとき、定数aの値の範囲を求めよ。 異なる3個の実数解を持つ為の条件が (1)f(x)が極値をもつ(2)極大値と極小値が異符号 というのはわかるのですが、 (1)の条件としてa>0というのがわかりません。 お教えください。

  • 酪農学園大学の問題について。

    f(x)=x^3-6ax^2-36a^2x+b について、極大値と極小値の差が27/2のとき、aの値を求めよ。 ・・・・・という問題で、 極大値と極小値の関係は解と係数の関係を利用すればいいと教わったことがあるので、 f(x)=x^3-6ax^2-36a^2x+b f'(x)=3x^2-12ax-36a^2 f'(x)=0 の判別式をDとすると、 D/4=36a^2+108a^2=144a^2 極地をもつから、D>0より 144a^2>0 よって、a<0,0<a  つまり、aキ0 x^3-6ax^2-36a^2x+b=0 の異なる2つの実数解をα、β(α<β)とおくと、 解と係数の関係より、 α+β=4a, αβ=-12a^2 極大値と極小値の差が27/2であるから、 |f(α)-f(β)|=27/2 ・・・・というように解いて、 絶対値をはずそうとしたのですが、 大小関係がよくわからないのでここからどのように答えを導いていくかがよくわかりません。 そこの所を教えてください。よろしくお願いします。 (ちなみに答えは a= 3/8,-3/8 です。)

  • 三次関数の問題です

    関数F(x)=Xの3乗-3(a-1)Xの二乗-12aX(aは実数の定数)のついて、F(X)の極大値M(a)のグラフをかけ。 という問題がどうしても解けません。緊急を要しています。誰か助けてください。

  • 実数解の個数

    関数f(x)=x^3-27a^2x+16について f(x)が単調に増加するときのaの値、方程式f(x)=0の異なる実数解の個数、f(x)の極大値と極小値、f(x)=0が異なる実数解を2個もつときのaの値 を求めよ。 という問題なんですが、微分した時点で止まってます。 実数解の個数を求めるには、y=f(x)のグラフとx軸の共有点のx座標を求めればいいと思うのですが、何から始めればいいかわかりません。 順をおって説明していただけませんか?お願いします。

  • 教えてください!

    ☆ f(x)=6/sinx+sinx/x を 0<x<2π(xはπ/2、π、3/2πならず)の範囲での、   f'(x)は?また、f(x)の極大値、極小値、その時のxを求めよ。 ☆ f(x)=1/x+1/x^2-1/x^3の極小値は?またax^3-x^2-x+1=0の実数解の   個数が1個であるときの定数aの値の範囲を求めよ。 こんな問題なんですけど、f'(x)を求める段階で、とまどってます。 詳しく教えてください。お願いします!

  • 三次関数の問題

    三次関数についての問題です。 f(x)=1/3x^3+ax^2+bx+cにおいて (1)f(0)=0 f´(0)=2 (2)x=tで極大になり、また   x=2tで極小になる。 この二つを満たす時、 a・b・c・tの値と、f(x)の極値を求めなさい。 分かるのはtのみで、他が全く分かりません。 判明したtから他の値も求まるのでしょうか。 分かる方いましたら、ヒントでかまいませんので教えて ください。

  • 3次関数f(x)=x~3-9x~2+12x-1で、(極大値)-(極小値

    3次関数f(x)=x~3-9x~2+12x-1で、(極大値)-(極小値)の値を求めよ。 という問題の解答のf(x)=(x~2-6x+4)(x-3)-10x+11がなぜ必要で、どこから考えているのかわかりません。教えて下さい。

専門家に質問してみよう