偏心軸荷重を受ける長柱のたわみ量の計算

質問

偏心軸荷重を受ける長柱のたわみ量の計算方法を教えて下さい！

一端固定、他端自由で、長さLの長柱が自由端でeだけ偏心した荷重Pを受け、先端がδだけ変位を生じた状態でつりあっているときの、たわみδとその時の先端の高さHの計算方法を教えて頂けないでしょうか？
この図ではLが長く、eは微小なものになっていますが、eが長くなると、長さe部のたわみも考慮する必要が出てくるのではないかと思いますが、その場合のδ及びHの計算方法も教えて頂けないでしょうか？

回答No.2

foomufoomu · ベストアンサー

まず、δの計算方法ですが、Pがeだけ偏心していることから、柱頭部にM=P*eのモーメントがかかります。

これより先端にモーメント荷重がかかった梁のたわみと回転角の公式(Iは柱の断面２次モーメント)
θ1=M*L/(E*I)
δ1=M*L^2/(2*E*I)
で、求めればよいのですが、Pがeだけずれていることから、柱頭部には、右方向にF=P*e/Lだけの水平力もかかります。

これによる変形が
θ2=-F*L^2/(2*E*I)
δ2=-P*L^3/(3*E*I)
あるので、前のδに加える必要があります。

つぎにHですが、前の回答の P*L/(A*E) の伸びもありますが、普通、これよりも柱の回転によるものと梁のたわみのほうが大きくなります。

柱の回転による、梁右端の上方向変形量
h1=(θ1+θ2)*e

梁のたわみのよる変形量(Iは梁の断面２次モーメント)
h2=P*e^3/(3*E*I)

この2つを足したものに、あと、ほとんど影響ないと思いますが、P*L/(A*E)も加え、さらにLを加えるとHになります。

お礼

早速のご回答ありがとうございました。

詳しい計算方法の掲載して頂き、非常に助かりました。
ご回答頂いた方法にて計算してみます。

回答No.1

noname#221368

通常の構造力学の範囲で良いですか？。

　その範囲で、まずeを十分小さいと考えると、長さLの片持ち梁の先端に、モーメント荷重ePと引っ張り力Pをかけた状態と同じになります。

　通常の構造力学の範囲では、モーメント荷重と軸荷重は独立に扱かって良い事になっているので、水平変位y（δ）は、モーメント荷重ePによる曲げ変形で決まります。モーメント荷重はHには影響しません。

　逆に軸荷重は水平変位に影響せず、伸び変形を（Hを）決めます。断面積Ａ，ヤング率Ｅの一様部材とすると、

　　H＝初期値＋P/(EA/L) （フックの法則というか、伸び＝力／バネ定数 の式）　　　(1)

です。

　eが無視できないときは、Ｌ型ラーメンを解く事になります。不静定構造になるので計算はさっきより面倒なんですが、片持ち梁に関する変形状態はじつは上と同じです。違いは(1)の他に、モーメント荷重ePによる水平部材の曲げ変形を、余分に計算するだけです。

　以上は、微小変形を仮定した通常の構造力学の範囲での話です。添付図にあるような「有限変形」をめざしているなら、とたんにひどく難しい計算になります。なので、普通はやりません(^^；)。

お礼

早速のご回答ありがとうございました。

eを無視するかしないかでの考え方が解り、助かりました。