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べき乗の定義は負の整数へと拡張できるのか（再）
べき乗の定義は (1) a^1 = a (2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数 となります。 この定義が、このまま負の整数へと拡張できるかどうかを考えてみました。 p=0 へと拡張するならば、 (A) a = a^0 * a という式が加わります。 a≠0 であれば a^0=1 となり a=0 なら 0^0 はどんな値も許され、0^0 は「不定」と言われます。 いずれにせよ、(1)(2)が成立するように a^0 の値を選ぶことができます。 p=-1 へと拡張するならば、さらに (B) a^0 = a^-1 * a という式が加わります。 a≠0 であれば a^-1=1/a となり a=0 なら 0^0=0 とした上で 0^-1 はどんな値も許されます。 さらに続けていくと、 (3) a^0 = 1 ただし a≠0 (4) a^(-p) = 1/(a^p) ただし a≠0, p は整数 (5) 0^(-p) = 0 ただし p は整数 という式が成立するように値を選ぶなら、べき乗の定義を負の整数へと拡張できることが分かります。 ところが、0^0 は 「不定」として扱うのが普通です。 これは、負の整数への拡張を考えていないから、と理解すればいいのでしょうか？ そして、負の整数への拡張を前提とするなら、0^0=0 として扱うべきでしょうか？
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お礼
> a = 0 だと「ゼロ除算」を強いられ、a^0 を確定できない。 そのことは、(B)を考慮すれば解決可能です。 (A) a = a^0 * a (B) a^0 = a^-1 * a は連立方程式となりますから、a = 0 の場合 a^0 = 0^0 = 0 という解が得られます。 > この問いはどう解釈すればよいのでしょうか？ 上記が理解できれば、どう解釈すべきかも理解できると思います。 回答ありがとうございました。