べき乗の定義は負の整数へと拡張できるのか（再）

質問

べき乗の定義は
(1) a^1 = a
(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数
となります。

この定義が、このまま負の整数へと拡張できるかどうかを考えてみました。

p=0 へと拡張するならば、
(A) a = a^0 * a
という式が加わります。
a≠0 であれば a^0=1 となり a=0 なら 0^0 はどんな値も許され、0^0 は「不定」と言われます。
いずれにせよ、(1)(2)が成立するように a^0 の値を選ぶことができます。

p=-1 へと拡張するならば、さらに
(B) a^0 = a^-1 * a
という式が加わります。
a≠0 であれば a^-1=1/a となり a=0 なら 0^0=0 とした上で 0^-1 はどんな値も許されます。

さらに続けていくと、
(3) a^0 = 1 ただし a≠0
(4) a^(-p) = 1/(a^p) ただし a≠0, p は整数
(5) 0^(-p) = 0 ただし p は整数
という式が成立するように値を選ぶなら、べき乗の定義を負の整数へと拡張できることが分かります。

ところが、0^0 は 「不定」として扱うのが普通です。
これは、負の整数への拡張を考えていないから、と理解すればいいのでしょうか？
そして、負の整数への拡張を前提とするなら、0^0=0 として扱うべきでしょうか？

回答No.21

Mathmi

＞標準的な理論
これは、数学的な証明方法、という理解で構いませんか？

＞wikiの０の０乗にはべき乗の定義しか書かれていない
wiki書かれているのは
「a^(p+1)=a^p*a(1<=p)を、p=0に拡張した場合、a=0の時ゼロ除算が発生して定義できない」
「a^0=1(a≠0)なのだから同様に0^0も1とするのが自然だが、a*0=0(a≠0)なのだから同様に0^0を0とするのも自然であり、矛盾する」
「lim(x→0)x^0は1となるが、lim(x→0)0^xは0となり、矛盾する」
の、三通りの理由が書かれています。

決してべき乗の定義しか書かれていないわけではなく、またべき乗の定義から0^0=0が導かれている訳でもありません。

後
＞＞「べき乗の定義が拡張できるのなら、0^0には拘らない」のか。
＞後者ですね。
＞wikiの０の０乗にはべき乗の定義しか書かれていないので、それに拘る（それを標準と考える）のは当然でしょう。
べき乗の定義の拡張が目的なのに、なんでべき乗のページじゃなくて0^0のページを主(貴方の言う標準)にしてるんですか？　べき乗のページを主に参照するべきじゃないんですか？

＞「べき乗は、負の整数へと拡張されている」
wikiでは確かに
＞正負を伴う累乗では、整数xに対して、指数が正の整数nであればx^nとなり、指数が0であれば1となり、指数が負の整数-nであれば1/(x^n)となる
とありますが、「a^(p+1)=a^p*aが、a=0、p<=0の時も成り立つ」とは一言も書かれていません。
むしろ
＞0の0乗は通常定義されない。
と、a=0,p=0の時は特殊であると、べき乗の定義の範囲外であると明言されています。

で、この状況で何が疑問なんでしょうか？
「a^(p+1)=a^p*a(1<=p)という定義は、a≠0の時p<1に拡張可能。a=0の時はゼロ除算が絡むため拡張不可能」
で終わる話なんじゃないんですか？
なんか、a=0の時も拡張可能だと、固く信じておられるみたいですが。
ああ、仮定してるだけでしたね。その仮定は誤りです。

お礼

> これは、数学的な証明方法、という理解で構いませんか？

数学的な証明とは、公理や定義から演繹的に導かれたものを指すと思いますが、
その中でも「体」という一般的なものに絞るべきかと考えてます。
だからといって「1/0」を排除はしませんが、その場合はちゃんと「1/0」を含んだ理論が背景に存在すべきだと思います。

> 「a^(p+1)=a^p*a(1<=p)を、p=0に拡張した場合、a=0の時ゼロ除算が発生して定義できない」

p を整数に拡張した場合、ゼロ除算という問題は発生しないかも、と考えています。

> 「a^0=1(a≠0)なのだから同様に0^0も1とするのが自然だが、a*0=0(a≠0)なのだから同様に0^0を0とするのも自然であり、矛盾する」
> 「lim(x→0)x^0は1となるが、lim(x→0)0^xは0となり、矛盾する」

答は不定なのだから、推定方法が複数あって当然。
不定という事実を分かりやすく説明してるだけであり、矛盾とは考えていません。
現に、0^0=1 と定義しても、それで論理に矛盾が発生するのではありません。

> べき乗の定義から0^0=0が導かれている訳でもありません。

べき乗の定義だけを示して、それを元に「定義できない」ことを説明しているのだから、
べき乗とはその定義のみによって決定されていると考えるべきでしょう。
負の整数へと拡張するためのルールが別にあるのなら、そこにはそれも示すべきでしょうね。

> べき乗の定義の拡張が目的なのに、なんでべき乗のページじゃなくて0^0のページを主(貴方の言う標準)にしてるんですか？　べき乗のページを主に参照するべきじゃないんですか？

べき乗を負の整数へと拡張する方法によって結果が変わるのは底が 0 の場合です。
底を 0 とした場合のことを詳しく記述してあるのは、べき乗のページではありません。

> wikiでは確かに
> > 正負を伴う累乗では、整数xに対して、指数が正の整数nであればx^nとなり、指数が0であれば1となり、指数が負の整数-nであれば1/(x^n)となる
> とありますが、「a^(p+1)=a^p*aが、a=0、p<=0の時も成り立つ」とは一言も書かれていません。

それで結局あなたの意見はどっちなんですか？

> 「a^(p+1)=a^p*a(1<=p)という定義は、a≠0の時p<1に拡張可能。a=0の時はゼロ除算が絡むため拡張不可能」
> で終わる話なんじゃないんですか？

「a=0の時はゼロ除算が絡むため拡張不可能」と断言してしまったら、０の０乗の説明は間違いだということになるのでは？
だってあれは、拡張可能ということを前提にした話ですから。

回答ありがとうございました。

回答No.20

Mathmi

確認したいのですが、貴方の質問というのは
「べき乗の定義[a^(p+1)=a^p*a(0<p)]をp<=0にまで拡張したい」なのか
「0^0の値を定義したい」の、どちらなのですか？

「0^0が定義できるならべき乗の定義には拘らない」のか、
「べき乗の定義が拡張できるのなら、0^0には拘らない」のか。
(まぁ、べき乗の定義の拡張の際、どうしてもゼロ除算の問題は出てくるでしょうが)

それとも
「べき乗の定義を用いて0^0を定義してみたい」のですか？
「一般的な0^0の定義(定義できない)と自分の導き出した0^0の答え(0)が何故違うのか分からない」のですか？

お礼

私の目的は、現状（標準的な理論）の確認です。

したがって、

> 「べき乗の定義[a^(p+1)=a^p*a(0<p)]をp<=0にまで拡張したい」なのか

拡張できるならそれで良いし、拡張できないというならそれでも良いです。

> 「0^0の値を定義したい」の、どちらなのですか？

定義できない理由がある、ということを否定するつもりはありません。

> 「0^0が定義できるならべき乗の定義には拘らない」のか、
> 「べき乗の定義が拡張できるのなら、0^0には拘らない」のか。

後者ですね。
wikiの０の０乗にはべき乗の定義しか書かれていないので、それに拘る（それを標準と考える）のは当然でしょう。
私は0^0がどうなるかには拘りません。むしろ、0^0に拘るのは私以外の人たちでしょう。
そんな人たちとどういう合意ができるのか、とても興味があります。

> 「べき乗の定義を用いて0^0を定義してみたい」のですか？
> 「一般的な0^0の定義(定義できない)と自分の導き出した0^0の答え(0)が何故違うのか分からない」

後者ですね。
べき乗の定義を拡張したのは、あくまで自分の考えを開示しただけ。
それが正しいとも、それを他人に押し付けようとも思っていません。

べき乗の定義である(1)(2)以外に、負の整数へと拡張する時に考慮すべきことがあるのかどうか、
あるならそれはどういうルールなのか、それが私が注目してる点です。

「べき乗の定義は、正の整数の範囲では正しい」
「べき乗は、負の整数へと拡張されている」
「0^0 は未定義とされている」
この３つを整合的に理解する方法が知りたいが、３番目には拘らない。
標準的とされているから、まずは正しいと仮定して考えているだけ。

回答ありがとうございました。

回答No.19

ricardo_

指数法則の拡張理由から考えて、0^0=1　とするのが良いでしょう。

　乗除についてメートル単位を付けてみましょう。

　2[m] x 3[m] = 6[m^2]
　2[m] x (3x0)[m] = 0[m^2]　は２次元的にはゼロですが、１次元的には2[m]です。

　2[m] x 0[m] = 3[m] x 0[m] = 0[m^2]
　上の等式の両辺を　0[m]　で割って
　2[m] x ( 0[m] / 0[m] ) = 3[m] x ( 0[m] / 0[m] )
　2[m] x 1 = 3[m] x 1

　とすると両辺は等しくない。

0[m] / 0[m] = 1　　　だけど
0[m^2] / 0[m] = 1　　では無い。不定になってしまう。

　このように考えれば、あなたの欲しい答えが見つかるでしょう。

お礼

この質問は、0^0 の値として何が良いか、ということではありません。
標準的な定義から標準的な結論を得るための標準的な手法を明らかにすることです。

その際、べき乗は負の整数乗へと拡張されているのですから、これと整合していなければいけません。
よって、拡張方法をまず仮定し、その結果が標準と異なるのは何故か、と考えることにしました。

回答として示されているのは、正の整数についての議論に見えますから、これでは足りません。
また、０で割ることは、標準的な考えでは未定義とされてますから、これが出てきてもいけません。

「0^0 とは何か」だけでなく「0^-1 とは何か」ということも考えてみてください。

回答ありがとうございました。

回答No.18

178-tall

ANo.17 お礼

後半については、表現順序のくい違いから、同じ推論を異見だと錯誤して、要らざる議論の繰り返しになっていたようで…。
当方としては、チョン切れチョン切れに覗き見しながらレスを打っているわけで、要らざる混乱を強いられてました。

閑話休題。残るは、前半。

>> 「0^0=0 が妥当」とおっしゃりたいご様子。

>いいえ。
>べき乗の定義から 0^0 の値を得る標準的な方法を知りたいだけです。
>私が言ってるのは、べき乗の定義を負の整数へと拡張しただけでは、そうならないという部分だけであり、標準的な答を否定しているのではありません。

この議論には特に意見ないので、参考 URL (すでにご覧でしょうけど…) でお茶濁し。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/0%E3%81%AE0%E4%B9%97

お礼

こちらは答えてもらっている立場ですので、混乱が無くなったのなら、ただ喜ぶだけです。

了解できない点を指摘することは、もちろん私の役に立ちます。
今後ともお願いします。

回答ありがとうございました。

回答No.17

178-tall

ANo.15 お礼

コンガラかるので、前半は後まわし。ひとまず後半から。

>…とりあえず、どこに疑問の余地があるのか、教えてください。

ANo.3 までに当方が提示したことなので、さしあたりは「疑問の余地」を言い出せません。

…で、お次は？

お礼

次と言われると、
0^-1 = 1/0
ということまで想定すべきだということでしょうか？

まあ、そういった分配法則やら結合法則を守れない数を出してくるなら、
それを解だと見なすこともできますが、それは一般的な数学とは思えません。

ですので、私の証明は以上で終りです。

私はどこに了解できないのか分からないし、あなたも示せないのであれば、ここまでですね。

回答ありがとうございました。

回答No.16

Mathmi

＞私は、式が成り立つならこうなる、と言ってるに過ぎません。
つまり、式が成り立たないなら理論自体が成り立たない事は理解しているんですね？

＞0^(-1) = 1/0
＞という不可解な置換えをしていますね。
ANo.11を読んでないんですね。
べき乗a^pの定義の一つとして、1にaをp回かける、というものがあります。-p回かけるというのは、p回割るのと同義です。
故に、0^(-1)は1を0で1回割る、つまり1/0となります。
これが、不可解な置換えですか？　一般的な場合で。

貴方の論を要約すると
「[a^(p+1)=a^p*a]がp<=0の時も成り立つならば、0^0=0が導き出される」
というものでしょう。
で、自分を含めた皆さんは
「[a^(p+1)=a^p*a]がp<=0の時も成り立つ、という前提自体が成り立たない」
と言っています。

「前提が間違っている、意味がない」「前提は前提、間違っていようが関係ない」という応酬をずっと繰り返しているのは、理解していますか？

お礼

> べき乗a^pの定義の一つとして、1にaをp回かける、というものがあります。

その場合、0^0=1 ですね。

> -p回かけるというのは、p回割るのと同義です。

式で表すなら(3)(4)のことですね。
これが a≠0 でも成り立つと考えるなら、そうなります。

私はこの考え方を、否定してませんよ。
質問文に最初から
> この定義が、このまま負の整数へと拡張できるかどうかを考えてみました。
> これは、負の整数への拡張を考えていないから、と理解すればいいのでしょうか？
と記述してますから。

負の整数への拡張を、(2)式ではなく、(3)あるいは(4)式を使って行うなら、0^0=0 とはならないことは検証済みです。

質問の仕方が分かりづらかったですか？

多分、あなたの回答を、私が聞きたかったことを中心に記述するなら、
「べき乗を負の整数へと拡張するに際し、べき乗の定義式(2)をそのまま拡張していけばいいとは考えていないから、0^0=0 とはせず、その値は未定義とされている」
とでもなりますかね。

これでもまだ間違って受け取っているようなら、また指摘してください。

回答ありがとうございました。

回答No.15

178-tall

堂々巡りでは、時間の浪費。

"0^0 は 「不定」として扱うのが普通" はお気に召さず、「0^0=0 が妥当」とおっしゃりたいご様子。

ならば、その拠点らしき下記コメントからでも。

>0 = 0^0 * 0
>0^0 = 0^-1 * 0
>の２式が得られ、これより 0^0 = 0 となります。

この断定は、いまだに了解できてません。
途中の推論過程でも説明してみて。
(今までのレスは、当方の頭脳じゃ理解できない。わかり易くして…)

お礼

> 「0^0=0 が妥当」とおっしゃりたいご様子。

いいえ。
べき乗の定義から 0^0 の値を得る標準的な方法を知りたいだけです。

私が言ってるのは、べき乗の定義を負の整数へと拡張しただけでは、そうならないという部分だけであり、標準的な答を否定しているのではありません。

> この断定は、いまだに了解できてません。
> 途中の推論過程でも説明してみて。

２式を x = 0^0, y = 0^-1 と置換え
0 = x * 0
x = y * 0
とすることには同意ですか？

これに基づき、x, y を実数とした場合、連立方程式の解が
x = 0
y は任意の値
となることに同意しますか？

x, y を複素数や四元数へと拡張しても結果は変わりません。

…とりあえず、どこに疑問の余地があるのか、教えてください。

回答ありがとうございました。

回答No.14

Mathmi

皆から何度も言われているように、貴方の理論というのは
・0^1=0^0*0
・0^0=0^(-1)*0
この2式が成り立つ、という極めて不自然な前提の元でしか成り立たないのです。

これを理論の条件にしているというのは、ANo.12お礼で、貴方自身が言っています。

ANo.8お礼で
＞＞「…は値を持つ」と「決める」と
＞などという話は出てきませんし、目にしたこともありません。
とあることから考えるに、この2式が成り立たない場合、という可能性を想像だにしていないと思われますが。

その条件がなかった場合、以下のような理論展開になるでしょう。
--*--*--*--*--*--
a=0、p=0の時
0^(0+1)=0^0*0
0^0をxと置く。
0^1=x*0
x=0/0
ゼロ除算なので、xは不定

a=0、p=-1の時
0^(-1+1)=0^(-1)*0
0^0=0^-1*0
x=0^(-1)*0
x=1/0*0
1/0はゼロ除算なので計算不能。
計算不可能なものに0をかけても計算不能。
なので、xは計算不能。

∴a=0、p<=0の時計算不能なので、a=0の時負の整数への拡張はできない。
--*--*--*--*--*--

つまり貴方の理論展開は、極めて特殊な条件下でのみ可能なものでしかないのです。

ゆえに、理論の結果として0^0=0が導きだされようと、それが一般的な「0^0は一般的な定義は不可能」という結果と異なっていようと、なんら不思議なことではありません。

「寒い場所なら(2式が成立したら)バナナで釘が打てる(0^0=0となる)けど、普通バナナで釘は打てない(0^0は定義できない)。なんで？」と聞かれた所で「貴方の言ってる条件は普通じゃないから」としか答えようがありません。

お礼

> この2式が成り立たない場合、という可能性を想像だにしていないと思われますが。

私は、式が成り立つならこうなる、と言ってるに過ぎません。

> x=0^(-1)*0
> x=1/0*0
> 1/0はゼロ除算なので計算不能。

0^(-1) = 1/0

という不可解な置換えをしていますね。

そもそも、「1/0」という記号は、0 を掛けると 1 となる数として使っていますか？
そうでないとすると、ゼロ除算だというあなたの判断は間違っています。
まだ何の意味付けもない記号の組み合わせにすぎないのだから。

また、この置換えそのものが、何の根拠もないものです。
あなたのローカルルールでしょうか？

私の知ってるものと言えば、(4)式であり、a≠0 という条件付きなのは明白です。

この置換えはまるで、
f(x)=x/x
から
f(x)=1 ただし x≠0
となってる所を、x≠0 という条件を無視して使っているようにしか見えません。
f(0)=1
でないことは、定義に戻れば明らかであり、それはあなたが行った置換えも同じです。

これらの問題を無視して、本当に定義式が成立しない可能性を考えるべきだと言うのですか？
あなたの示した理論展開は、普通じゃないと思います。

回答ありがとうございました。

回答No.13

178-tall

>式の成立を前提にしてるのに、式が成立しない値という選択肢を残す理由が分かりません。

式の成立を前提にする理由が分かりません。

>「0 割り算」というのは定義できないものです。
>定義できないものを観点とする、というのは理解できません。

これはことばが足りなかったようで…。
「0 割り算」の論法を参考にして攻めたほうが、理解しやすいのかも。
…とでもいえば良いのかな？

お礼

> 式の成立を前提にする理由が分かりません。

(1)(2)を基にべき乗が定義されているのに、
その式の成立がどうでも良いということでしょうか？

定義となる式に従ったものを「べき乗」と呼ぶのだから、
式が成立しなければならないというのは、当然の前提と思います。

> 「0 割り算」の論法を参考にして攻めたほうが、理解しやすいのかも。

多分、「0 割り算」を利用した場合にべき乗がどうなるのか、という点を説明して頂いた方が理解しやすいと思います。
でも多分、べき乗の定義とは相容れないと予想します。

回答ありがとうございました。

回答No.12

178-tall

ANo.10 お礼
　　　　↓
>0^(-1) が「不定」となるのは、0^0=0 の場合です。
>0^0≠0 と仮定すると、0^(-1) がどんな値でも、式は成立しません。
>つまり、２式が成立するというのが前提ならば、0^0=0 と考えざるを得ません。

この場合、0^0≠0 とも 0^0=0 とも決定できない、という帰結もあるんじゃない？

ANo.11 お礼
　　　　↓
>0^0 がどういう扱いかはよく知られた事実ですが、
>なぜそうなるかは、あまり明確とは思えません。

0^(非零負整数) からスタートして「0 割り算」の観点から攻めたほうが、理解しやすいのかも…。

お礼

> この場合、0^0≠0 とも 0^0=0 とも決定できない、という帰結もあるんじゃない？

式の成立を前提にしてるのに、式が成立しない値という選択肢を残す理由が分かりません。

> 0^(非零負整数) からスタートして「0 割り算」の観点から攻めたほうが、理解しやすいのかも…。

「0 割り算」というのは定義できないものです。
定義できないものを観点とする、というのは理解できません。

回答ありがとうございました。