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数列の収束・発散について、
次の級数の和を求めよ。 と言う問いで、求め方が解りません。 (1) (1/1.3)+(1/2.4)+(1/3.5)・・・・+(1/n(n+2))+・・・ (2) (1/1.3)+(1/3.5)+(1/5.7)・・・・+(1/(2n-1)(2n+1))+・・・ と言う問いになります。 初項=a , 公比=r , を求めて解くのか、 また、公比の部分が良く解らないので、 いろんな解き方があると思いますが、 解りやすくお願いします。 よろしくお願いします。
- sample_wave
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- bgm38489
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まず、等比数列の和ではありませんので、公比なんて使いようがありませんね。 (1)の場合、1/n(n+2)=(((n+2)-n)/n(n+2))*(1/2)=(1/2)((1/n)-1/(n+2))と変形できますね。全体の級数を求めるには、(1/n)についての級数を求め、それから(1/(n+2))の級数を引いて、1/2すればよいわけです。 (2)も、同じように考えれば。要するに、n項の式を、二つの分数に分けることがポイントです。
- spring135
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(1)S=(1/1.3)+(1/2.4)+(1/3.5)・・・・+(1/n(n+2))+・・・ 1/n(n+2)=[1/n-1/(n+2)]/2に注目して Sn=[1/1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6....+1/n-1/(n+2)]/2 =[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]/2 S=lim(n→∞)Sn=3/4 (2)S=(1/1.3)+(1/3.5)+(1/5.7)・・・・+(1/(2n-1)(2n+1))+・・・ 1/(2n-1)(2n+1)=[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2に注目して Sn=[1/1-1/3+1/3-1/5+....1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2 =[1-1/(2n+1)]/2 S=lim(n→∞)Sn=1/2
ヒントだけ。分母がnについての一次式であれば、解けるんではないですか? (1)について試しにやってみます。a, bをある実数として、 1/n(n+2)=a/n+b/(n+2) と置いてみます。右辺を分母をn(n+2)に通分して足してみます。 a/n+b/(n+2)=a(n+2)/n(n+2)+bn/n(n+2)={a(n+2)+bn}/n(n+2)={n(a+b)+2a}/n(n+2) これが1/n(n+2)と等しいのですから、分子が1のはずです。 n(a+b)+2a=1 nが幾つであっても、これが成り立たねばなりません。すると、 a+b=0, 2a=1 とできれば、nが幾つであっても成り立ちます。この一次方程式は簡単に解けます。 ∴a=1/2, b=-1/2 すると、元の式は以下のように変形できることが分かります。 1/n(n+2)=1/2n-1/2(n+2) 右辺の1/2n、1/2(n+2)について、それぞれを別々に級数の和と計算できれば、与えられた式の級数の和も計算できます。
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