計算方法を、教えて下さい

質問

質問です

製品台数、１６、２６５台の内。１１台の不良が見つかりました
その製品数１６、２６５台から１５０台抜き取りましたら。３台不良が発見されました。その確率は何パーセントなるでしょうか
教えて下さい

製造業の会社員ですが計算方法がわかりません
よろしく、お願い致します

回答No.3

noname#227064

> その製品数１６、２６５台から１５０台抜き取りましたら

すでに11台の不良品があることはわかっているので、ここは16254台から150台を抜き取ったのではないですか？

> ３台不良が発見されました。その確率は何パーセントなるでしょうか

16265台のうち不良品が何台あるかがわからないと、その確率は計算できません。

N：製品台数
n：不良品数（未知）
k：抜き取り前に発見された不良品数
m：抜き取り数
x：抜き取った製品中の不良品数
とおきます。
また、a個のものからb個のものを選ぶ組み合わせの数をC(a,b)と書きます。

すでにk個の不良品があることはわかっていますので、
残りのN-k個の製品のうちn-k個が不良品です。
このN-k個の製品からm個の製品を抜き取る組み合わせは、C(N-k,m)通り。
不良品をx個抜き取る組み合わせは、n-k個の不良品からx個の不良品を抜き取る組み合わせにN-n個の良品からm-x個の良品を抜き取る組み合わせをかければ求められますので、C(n-k, x)C(N-n, m-x)通り。
どの製品も等しく選ばれるのであれば、m個中に不良品がx個入っている確率は、
P(x) = C(n-k, x)C(N-n, m-x)/C(N-k, m)
となります。
（xは超幾何分布に従う）

N = 16265
k = 11
m = 150
x = 3
なので、
P(3) = (n-11)!・(16265-n)!・16104!・150!/((n-14)!・3!・(16118-n)!・147!・16254!)
ですが、nが未知なので数値としては出せません。

150個の標本中に不良品が3個ある確率を計算するよりも、16265個中に一体何個の不良品があるかを推定し、その推定値がどの程度信頼できるものなのかを調べる方が良いのではないでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございました
参考にさせて頂きます

回答No.2

Mathmi

150台の抜き取り検査をした結果、不良品が0台でも1台でもなく3台見つかる確率は何%か、という質問ですよね？
数学の問題としてならともかく、現実でこの確率をどう使うのか分からないので、見当違いの回答をしているのかもしれません&駆け足ですが。

まず、11個の不良品全てが抜き取り検査で発見した場合の確率を考えてみます。
不良品の出る確率:(11*10*……*1)/(16265*16264*……*16255)……(1)
良品の出る確率:(16254*16253*……*16116)/(16254*16253*……*16116)……(2)
組み合わせの確率:11C150=(150*149*……*140)/(11*10*……*1)……(3)
(1)(2)(3)を掛け合わせれば、確率が求まります。

次に、10個の不良品が発見された場合の確率を考えてみます。
不良品の出る確率:(11*10*……*2)/(16265*16264*……*16256)……(1)
良品の出る確率:(16254*16253*……*16115)/(16255*16254*……*16116)……(2)
組み合わせの確率:10C150=(150*149*……*141)/(10*9*……*1)……(3)

このまま計算してもいいのですが、桁が大きすぎる為に簡単にします。
式(2)の(16254*……*16116)は、見つかった不良数が何台の場合でも共通なので、通分できます。

以上より、n台の不良品が発見される時の確率は
(11*10*……*11-(n-1))*(16115*16114*……*16115-(11-(n-1)))*(16265*16264*……*16255)*nC150
となります。
nに3を代入すると
(11*10*9)*(16115*16114*16113*16112*16111*16110*16109*16108*)*(16265*16264*……*16255)*3C150

これを計算すると、3台の不良品が見つかる可能性は約0.0118%となります。
ちなみに、90%近くの確率で1台も不良品が見つかりません。
期待値としては150*(11/16265)=約0.1台の不良品が見つかるので妥当かと。

お礼

ご回答有難うございました
参考にさせて、頂きます

回答No.1

Nakay702

＞計算方法を、教えて下さい

＞製品台数、１６、２６５台の内。１１台の不良が見つかりました
⇒１１÷１６、２６５×１００＝０．０６７６２９８
ゆえに、この場合の不良品は、約０．０６８パーセント（０．６８パーミル）です。
なお、０．０６８％ （パーセント）と同じ数値を、０．６８‰ （パーミル）と表わすこともできます。(パーセントは「１００につき幾つ」を、パーミルは「１０００につき幾つ」を表わします。）

＞その製品数１６、２６５台から１５０台抜き取りましたら。３台不良が発見されました。その確率は何パーセントなるでしょうか
⇒３÷１５０×１００＝２
ゆえに、この場合の不良品は、２パーセントです。
上の場合の約３倍ですね。おそらく、「１６、２６５台から１５０台抜き取った際、その中に、たまたま不良品が多く含まれていた」、ということでしょうね。

以上、ご回答まで。

お礼

ご回答ありがとうございました
私の書き方が悪かったと、思います
私が、欲しい回答は。１６、２６５台から１５０台抜き取った
結果、３台不良が見つかったのは、どうのようなパーセンテージ
なるのでしょうか
よろしく、お願い致します（すでに、１１台の不良が見つかっている）