数学の解説お願いします。

質問

解説のない数学の問題です。よろしくお願いします。

図の△ABCは、∠B=90°の直角三角形で、円Oはその内接円である。AB=6、BC=8である。
斜線部分の面積を求めよ、という問題です。

よろしくお願いします。

回答No.4

NemurinekoNya

AC = 10は他の回答者さんたちの値を拝借します。

この問題は、△OAB、△OBC、△OCAで考えると、わかりやすいです。

△ABC = △OAB + △OBC + △OCA
円の半径をrとすると、
△OAB = 1/2×AB×r = 1/2×6×r = 3r
△OBC = 1/2×BC×r = 1/2×8×r = 4r
△OCA = 1/2×AC×r = 1/2×10×r = 5r

で、
△ABC =1/2×AB×BC = 1/2×6×8 = 24

そして、
△ABC = △OAB + △OBC + △OCA
だから、
24 = 3r + 4r + 5r = 12r

ゆえに、
r = 2
となります。

よって、求める面積は
24 - π×2×2 = 24-4π

回答No.3

noname#190065

直角三角形から円の面積を引けばいいので、円の半径を求めればいいのです。この問題は、直角三角形に内接する円の典型的な問題です。円の中心をひとつの頂点とする(1)正方形を作れば、後は(2)円と接線の性質で求まります。
　(1)、(2)のどちらかでつまずいていたら、教科書などで復習してみてください。

回答No.2

spring135

ピタゴラスの定理により

AC^2=AB^2+BC^2=6^2+8^2=100

ゆえに　AC=10

辺AB,BC,CAと内接円の接点を各々P,Q,Rとする。この時以下の関係が成り立つ。

AP=AR=a, BP=BQ=b, CQ=CR=c

a+b=6 　(1)

b+c=8　　　(2)

c+a=10　　　(3)

3式を加えると

2(a+b+c)24

ゆえに

a+b+c=12　　(4)

(4)-(1)、(4)-(2)、(4)-(3)より

a=4,b=2,c=6

内接円の中心をOとし、四角形OPBQに注目する。

一般に円の中心と接点を結ぶ直線と接線は垂直である。

つまり

∠OPB＝∠OQB=90°

∠QBP=90°なので∠POQ＝90°

つまり四角形OPBQは長方形でありPB=QBなので四角形OPBQは正方形である。

よって内接円の半径r=OP=QB=2

斜線部分の面積=⊿ABCの面積-円Oの面積＝6×8/2-π×2^2=24-4π

回答No.1

おみみ こみみ（@dreamhope-ok）

内接円の面積を求めるために、円の半径を考える。（たぶん２だと思うが）

ＡＣ＾＝ＡＢ＾+ＢＣ＾＝３６＋６４＝１００　　ＡＣ＝１０

辺ＡＢと円の接点をＸ

辺ＢＣと円の接点をＹ

辺ＣＡと円の接点をＺとすると（円外の1点から円に引いた2本の接線の長さは等しい）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ＡＸ＝ＡＺ，ＢＸ＝ＢＹ，ＣＹ＝ＣＺ

また四角形ＸＢＹＯは正方形だから　内接円の半径を　ｒ　とおくと　ｒ＝ＢＸ＝ＢＹ

ＡＢ＋ＢＣ＝ＡＸ＋ＸＢ＋ＢＹ＋ＹＣ

　　　　　　＝ＡＸ＋ｒ＋ｒ＋ＹＣ　　　（ＡＸ＝ＡＺ、ＹＣ＝ＣＺだから）

　　　　　　＝ＡＺ＋ＣＺ＋２ｒ

　　　　　　＝ＡＣ＋２ｒ

ＡＢ＋ＢＣ＝ＡＣ＋２ｒ

６＋８＝１０＋２ｒ

ｒ＝２

あとはわかりますよね。