円に糸を巻きつけた場合の端の位置

質問

直径が800ｍｍの円に20000mmの糸を巻きつけ

糸の両端をあわせた場合糸の端は円からどのくらいの位置になるのでしょうか？

端を求める方程式がつくれません。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

Java でニュートン法でといてみました。

public static void main(String[] args) {
double θ = 0.01;
for (int i = 1 ; i <= 20; i++) {
double f = 400 * (2 * θ + 3.14159265358979) + 800.0 / Math.tan(θ) - 20000;
double fd = 800 * θ - 800/Math.sin(θ)/Math.sin(θ);
θ = (fd*θ - f)/fd;

double L= 400 / Math.sin(θ);

System.out.printf("θ=%f, L=%f\n", θ, L);
}

答えは

θ=0.042734, L=9363.136023

お礼

ありがとうございます。
Ｊａｖａはよくわかりませんが
Ｃにして使ってみます。

回答No.10

staratras

添付したグラフは単位がメートルです。大まかに見当を付けるため、糸が円に巻きついた部分を円周の半分だとみなし、点(0,±0.4)から糸が伸びているものとしました。もちろん、実際は半円周よりわずかに長いので正確ではありませんが、添付した図で明らかなように差はわずかです。

このとき、円の中心Aと糸が交わる点Bとの距離をXとすると、三平方の定理から
0.4π+2√(X^2+0.4^2)=20 …（１）が成り立ちます。

これを解くと、X≒9.363141…　です。

下のように逆三角関数を使ってもっと厳密に数値計算したらX＝9.363136023…でしたので、結果的に0.1mmのオーダーまで一致し、差は0.005mm程度でした。

厳密に計算したい場合は、円の接点から糸の交点Bまでの距離をL、Bから見た２つの接点を見込む角を2θとすると、sinθ=0.4/X 円の中心から円の接点とBを見込む角はπ/2-θ　L=√(x^2-0.4^2) だから

2・0.4(π-(π/2-arcsin(0.4/X)))+2√(X^2-0.4^2)=20、すなわち
0.8(π/2+arcsin(0.4/X)+2√(X^2-0.16)-20=0
0.4(π/2+arcsin(0.4/X))+√(X^2-0.16)-10=0…（２）が成り立ちます。

この近似解を求めるにはエクセルなどの表計算ソフトのゴールシーク機能を使うのが実用上は便利だと思います。ただし、私が使用した古いExcel2002では直ぐには上記の値まで到達しなかったので、手で修正して求めた結果
X≒9.363136023…となりました。

お礼

ありがとうございます。

回答No.9

info22_

No.3です。

ANo.3の補足のようであれば
円の中心から糸の両端までの距離L(単位m)の方程式は
　2√(L^2-0.4^2)+2*0.4(π-cos^-1(0.4/L))=20

　f(L)=√(L^2-0.4^2)+0.4(π-cos^-1(0.4/L))-10=0

これをニュートン法（参考URL参照）で数値計算すれば
（Lの初期値としてx0=10として必要な精度で求めれば良いでしょう。）
L=9.3631360(m)≒9363.1360(mm)

Ans.9363.1360 mm

参考URL：

http://www.akita-nct.ac.jp/yamamoto/lecture/2005/5E/nonlinear_equation/text/html/node4.html

お礼

ありがとうございます。
考えて見ます。

回答No.8

alice_44

tan も sin も奇関数だから、
マクローリン展開に 2 次項が無くて、
1 次までで打ち切っても 2 次近似になる。
そこが、ラフな近似で結構精度が出る仕掛け。

お礼

ありがとうございます。
sin や　tanの　マクローリン展開は確か習いました。
70歳近いおじいさんからでしたが、正確なことは覚えていませんが
コンピューターの基となる知識だとのことのようでした。
梁のたわみの計算も角度がradianのとき
sinθ=θ
tanθ=θ
としていました。

回答No.7

alice_44

よう判らんけど、題意は A No.2 でよさそうだなあ。
あの式から L を消去すると tan θ = 2/(50-π-2θ)
となって、こんなもん、解きようもないが、
θ がとても小さいことから、tan θ ≒ θ
で近似してしまえば、二次方程式
θ(50-π-2θ) ≒ 2 になる。これを解いて、
L = 400 sin θ ≒ 400 θ で終わればいい。

お礼

ありがとうございます。
πはパイなんですね。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

回答5です。
どうでもよいのですが　プログラムの main メソッドの最後の } が抜けてます。
申し訳ない。

お礼

ありがとうございます。
Ｊａｖａを勉強してみます。
十進ＢＡＳＩＣにしてみます。

回答No.4

ORUKA1951

それだけの条件では答えは無理です。
糸と明記してあるということは、線ではなく、太さがあるわけですから巻いていく都度太くなっていきます。円柱とかホビンと書かれていないので「渦巻き」になります。
＞糸の両端をあわせた場合糸の端は円からどのくらいの位置になるのでしょうか？
　文面どおりなら「あわせた」のですから、常にゼロです。
　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^引っ掛け問題ですかね。
　糸の両端が同じ角度になる（左上)とは限らないので、端を渦巻き終わったときの距離？

　簡便な計算方法は、埋められる面の面積を糸の直径で割ります。

お礼

ありがとうございます。
私のミスで問題がわかりにくかったです。

20000mmの糸を直径が800ｍｍの円に通して
糸の両端をあわせた場合糸の端は円からどのくらいの位置になるのでしょうか？
端を求める方程式がつくれません。
　　　　／
糸の端　　〇
　　　　＼
　　　Ｌ
わかりにくいとは思いますが上のようなイメージです。

糸の端が円の中心からどのくらいの位置にくるのか
Ｌの長さが厳密に知りたいです。
方程式が立てられればと思います。

補足

絵をかいていただいて感謝です。
私の問題の書き方が悪かったです。
すいません。

回答No.3

info22_

>糸を巻きつけ糸の両端をあわせた場合糸の端は円からどのくらいの位置になるのでしょうか？

問題のイメージが、この問題文の説明ではわかりません。
説明図を添付して頂けませんか？
糸を巻きつけるとはどのように巻きつけるのですか？
糸の両端をあわせるとは？その時の糸の形状と端の位置はどこにあるのでしょうか？
糸の端は糸がどんな形状で円に巻きついているのでしょうか？
端の位置は円周上、円の接線上、その他のどこにあるのでしょうか？
糸が円にどれだけ巻き付いた状態を考えているのでしょうか？

お礼

ありがとうございます。
私のミスで問題がわかりにくかったです。

20000mmの糸を直径が800ｍｍの円に通して
糸の両端をあわせた場合糸の端は円からどのくらいの位置になるのでしょうか？
端を求める方程式がつくれません。
　　　　／
糸の端　　〇
　　　　＼
　　　Ｌ
わかりにくいとは思いますが上のようなイメージです。

糸の端が円の中心からどのくらいの位置にくるのか
Ｌの長さが厳密に知りたいです。
方程式が立てられればと思います。

.

回答No.2

alice_44

20000 mmの糸の輪を、直径 800 mmの円に
引っ掛けて、ピンと張るってこと？
それなら、だいたい 10000 mmくらいでしょ。
二つ折りにするのと、あまり変わらないから。

円の中心から、ピンと張った糸の頂点までの距離
を L mm、その頂点の角を 2θ とすると、
sin θ = 400/L,
20000 = 400(2θ+π) + 2L cos θ.
厳密解は、無理そう。

お礼

ありがとうございます。
厳密に知りたいので質問しました。
ＣＡＤで書くと９３６３ぐらいになりますが
0.2719ｍｍ短くなります。
大まかではなく小数点以下も知りたいと思いました。

補足

申し訳ありません

> sin θ = 400/L,
私は大雑把過ぎるように思います。

> 20000 = 400(2θ+π) + 2L cos θ.
糸は斜めと円の部分があり
2Ｌcos θは横方向の式ですね。
400(2θ+π)の意味がわかりません。

回答No.1

aokii

角度で言うと、360×800×π/20000（度）になります。

お礼

ありがとうござします。
問題文が間違っていました。すいません。

20000mmの糸を直径が800ｍｍの円に通して
糸の両端をあわせた場合糸の端は円からどのくらいの位置になるのでしょうか？
端を求める方程式がつくれません。

でした。