部分分数分解の応用

質問

Aとsを自然数とするとき、s!/A(A+1)・・・(A+s)=1/A-s/(A+1)+s(s-1)/2!(A+2)-・・・+(-1)^s/(A+s)　は一般に成り立つそうですが(s=0,1,2のときは成り立つのを確認しました)、証明がわかりません。もしも証明の仕方や、なぜこうなるのかが直感的にわかる考え方などがあればお教えいただけないでしょうか？
(Aが自然数でなく、一般の数の場合にも成り立つのかが気になっています。もしもそこまでわかられる方がおられれば、お教えいただければとても有り難く存じます。)

回答No.2

itoi_mitsugu · ベストアンサー

f(x)=(x-a1)(x-a2)・・・(x-an)のとき
1/f(x)=ΣAk/(x－ak) (1<=k<=n)とおくと
１＝f(x)ΣAk/(x－ak)
f(ak)=0であるから
1=ΣAk{f(x)-f(ak)}/(x-ak)
x→akの極限を考えると
1=Akf'(ak)より
Ak=1/f'(ak)が成立する

お礼

このような変形の仕方があるとは知りませんでした。
大変勉強になりました。
有り難うございました。

回答No.3

info22_

s!/A(A+1)・・・(A+s)=f(A)
f(A)=Σ(k=0,s) A_k/(A+k)
とおくと
A_k=f(A)(A+k)|(A→-k)
=s!/{-k(-k+1)…(-1)*1*2*…*(-k+s)}
=(-1)^k*s!/(k!(s-k)!) (k=1,2,…,s)

∴f(A)=1/A-s/(A+1)+s(s-1)/(2!(A+2))-…+(-1)^s/(A+s)

>Aが自然数でなく、一般の数の場合にも成り立つのかが気になっています。
上の導出法からもAが実数であっても何ら不都合は発生しません。
Aが実数の場合でも成り立ちます。

お礼

大変丁寧に教えていただき有り難うございます。

Ａが実数でも成り立つ理由がよくわかりました。

回答No.1

Tacosan

たぶん帰納法で瞬殺

お礼

ご返事を頂き、有り難うございます。

右辺に二項係数が出てくるので、帰納法での式変形が上手くいかなかった次第です。