部分分数分解？もっと短い計算方法はありますか？

質問

sY(s) - 1 - Y(s) = 1/(s+2)

Y(s)について解くと

　　　　　Y(s) = 2/(s+1) - 1/(s+2)

・・・と本に書いてあります。
自分でも解いてみましたが、
私の解き方が遠回りのような気がしてなりません。
もっと短い計算方法はありますか？
（というか、私の方法は一般的ですか、それとも普通はもっと短い方法で計算すべきですか？）

　　　　　sY(s) - 1 + Y(s) = 1/(s+2)
　　　　　sY(s) + Y(s) = 1/(s+2) + 1
　　　　　Y(s)(s+1) = 1/(s+2) + 1
　　　　　Y(s) = 1/(s+2)(s+1) + 1/(s+1)
　　　　　Y(s) = 1/(s+2)(s+1) + (s+2)/(s+2)(s+1)
　　　　　Y(s) = { 1+(s+2) }/(s+2)(s+1)
　　　　　Y(s) = { s+3 }/(s+2)(s+1)

　　　　　{ s+3 }/(s+2)(s+1) = A/(s+2) + B/(s+1)
　　　　　s+3 = A(s+1) + B(s+2)
　　　　　s+3 = As+A + Bs+2B
　　　　　s+3 = As+Bs+A+2B
　　　　　1s+3 = (A+B)s+A+2B

ここから部分分数分解
{ 1 = A+B　　　・・・(1)
{ 3 = A+2B　　・・・(2)

(2) - (1)
3 = A+2B
1 = A+B
----------
2 = B
B = 2

1 = A+2
A = -1

{ A = -1
{ B = 2

よって、
　　　　　{ s+3 }/(s+2)(s+1) = (-1)/(s+2) + (2)/(s+1)
　　　　　　　　　　　　　　　 = 2/(s+1) - 1/(s+2)　■
長いですが、一応答えが出ました。

他にも、上記の別解を見つけようとして
　　　　　Y(s) = { 1+(s+2) }/(s+2)(s+1)
から
　　　　　Y(s) = { (s+1) +2 }/(s+2)(s+1)
　　　　　Y(s) = (s+1)/(s+2)(s+1) + 2/(s+2)(s+1)
　　　　　Y(s) = 1/(s+2) + 2/(s+2)(s+1)
　　　　　Y(s) = 1/(s+2) + { (s+2) -s }/(s+2)(s+1)
　　　　　Y(s) = 1/(s+2) + (s+2)/(s+2)(s+1) - s/(s+2)(s+1)
　　　　　Y(s) = 1/(s+2) + 1/(s+1) - s/(s+2)(s+1)
・・・あらぬ方向へ行ってしまいました・・・。

教えてください。お願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

sY(s) - 1 - Y(s) = 1/(s+2)
sY(s) - 1 + Y(s) = 1/(s+2)

どちらが正しいでしょうか。後者と仮定します。

(s + 1)Y(s) = 1 + 1/(s+2)
Y(s) = 1/(s + 1) + 1/{(s + 1)(s + 2)}
ここで、
1/(s + 1) - 1/(s + 2)
= (s + 2 - s - 1)/{(s + 1)(s + 2)}
= 1/{(s + 1)(s + 2)}
であるから（※）、
Y(s) = 1/(s + 1) + 1/(s + 1) - 1/(s + 2)
= 2/(s + 1) - 1/(s + 2)

(※)
s + 1 と s + 2 から 1 を作りたい。
s + 2 - (s + 1) = 1であるから、
上記のように変形できることに気づけばOK。

お礼

なるほど、1/{(s + 1)(s + 2)}が出た段階で部分分数分解するんですね。
どっちにしても部分分数分解は避けられないようですね。

それと、真ん中の
> 1/(s + 1) - 1/(s + 2)
> = (s + 2 - s - 1)/{(s + 1)(s + 2)}
は答えを知っているからこそできる天下り法なので、私的には
> s + 1 と s + 2 から 1 を作りたい。
> s + 2 - (s + 1) = 1
の考えの方を覚えておきます。
ありがとうございました。

回答No.2

stomachman

> Y(s) = 1/(s+2)(s+1) + 1/(s+1)

だったらあとは
　　1/(s+2)(s+1)
のとこだけ部分分数分解すればよし。暗算でできるしょ。

お礼

これで「1/(s+2)(s+1)の段階で部分分数分解する」に
2票集まりました。やはり、一般的にはその方法なんでしょうね。
ありがとうございました。