部分分数の分解

質問

部分分数の分解

1/K(K+1)(K+2)=1/2{1/K(K+1)-1/(K+1)(K+2)}

に分解できるらしんですが、なんでこのように分解できるんでしょうか？

部分分数が1/(K+a)(K+b)=1/b-a(1/K+a-1/K+b)となるルールからいうと、

K+2-K-1-K=1より

1/K(k+1)-(K+2)　かな？と最初思ったのですが違うのですね。
なぜ上記のような解答になるのでしょうか？

回答No.3

noname#157839 · ベストアンサー

これは、数列で、総和を求めるときのドミノ倒しっぽいやりかたで、便利だから、求めたい形から逆をたどってできた公式です。この場合、最初のｋ＝１のときの値から、k=ｎ（与えられた文字）をひいて１／２すればいいというけっかになっただけです。つまり式変形の時、
１／ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）＝？〈１／ｋ（ｋ＋１）－１／（ｋ＋１）（ｋ＋２）〉
（実際に代入する文字を３つから２つにへらすため）
という形にもっていくことをかんがえて、？をあとからもとめただけなのです。
上の式は、分母がｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）に通分されると考え、分子が（ｋ＋２－ｋ）で２が残る。２をけすためには、？が１／２でなければならない、ということです。

お礼

わぁ！！すごいわかりやすい説明に感動いたしました。
このあたり、よくわからなかったのですが、おかげで理解できました。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#185706

1/{k(k+1)(k+2)}
で　1/(k+1)　をくくり出すと
{1/(k+1)}[1/{k(k+2)}]
[・・・]の部分を分解すると
{1/(k+1)}(1/2){(1/k)-1/(k+2)}
先頭の　1/(k+1)　を後ろの　{・・・}　の中へ入れると、与式になります。

お礼

なるほど・・・・そいういうことですね。回答ありがとうございました。

回答No.1

sak_sak

＞1/K(K+1)(K+2)=1/2{1/K(K+1)-1/(K+1)(K+2)}
は、
1/{K(K+1)(K+2)}=(1/2)[1/{K(K+1)}-1/{(K+1)(K+2)}]
という意味でよろしいですね?

＞なんでこのように分解できるんでしょうか？
右辺を通分して計算すれば左辺になるからではないですか?

後半は分母がどこまでなのかハッキリしないので、何とも言えません。

お礼

ありがとうございます。
ご指摘のとおり
＞1/K(K+1)(K+2)=1/2{1/K(K+1)-1/(K+1)(K+2)}
は、
1/{K(K+1)(K+2)}=(1/2)[1/{K(K+1)}-1/{(K+1)(K+2)}]です。
ご指摘ありがとうございました。