部分分数分解

質問

dx/dt=-x+y
dy/dt=-2x
x(0)=1, y(0)=1
をラプラス変換を使って解こうと思ったのですが、X(s)=s+1/(s^2+s+1)となり、部分分数分解でつまずきました。
どうすればよいでしょうか。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

s^2+s+1=0 に解の公式を使って
s=(-1±i√3)/2 より、
1/(s^2+s+1) = (i√3)/{s-(-1-i√3)/2} + (-i√3)/{s-(-1+i√3)/2}.

1/(s^2+s+1) = A/{s-(-1-i√3)/2} + B/{s-(-1+i√3)/2}
と置いて、A,B を求めれば求まる…

けどね。

この問題は、ラプラス変換を使うよりも、
dv/dt = Av,
A =
　　-1　　1
　　-2　　0
とベクトルの方程式にして、
A の対角化から e^(tA) を求めてしまったほうが、
遥に楽だよ。

お礼

ありがとうございました。