コイントスの結果の収束性

質問

確率ｐで表が出るコインがあります。

このコインを複数回投げて、確率ｐを推定したいと考えています。
無限回投げたときコインの表はNｐ回出ると思いますが、
この表が出る回数の試行回数に対する収束性はどのようになりますでしょうか。

回答No.6

noname#182607 · ベストアンサー

NO3補足に対してのコメント

・分子は平均からのずれで実際の剥離を表していて、
分母はそれを別の式で表しているということ。
分母の大きさがはくりのおおきさということでしょうか。

はい大体そうです

厳密にいうと

N→∞での平均からのずれの振る舞いを見ると
その振動の幅が分母のような大きさになる
ということがほぼ確実なのです

・分母はプロットするとNの増加関数になってしまったのですが
どこで間違ったのでしょうか。

間違いではありません

Nが大きくなるのに伴い
和S(N)の平均からの最大のずれの範囲は広がります

一方
分子分母をNで割ることで
標本平均のpからのずれの範囲は
収縮していくことが分かります

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

このあたり正直素人なので、誰か補足して欲しいです(^^;

大数の法則というのがありまして、期待値をE 結果の平均値を A とすると

Pr(|A-E| > ε| <= σ^2/(nε)

ここでσ^2は σ^2=ΣPi(Xi-E)^2 (Piは事象iの確率、Xi は事象iの値)
εは任意の正数。

これは、平均値の期待値に対するずれが一定以上になる確率の上限を表す式です。

こんな形で、任意の誤差以上の誤差が発生する確率を試行回数 n を大きくすれば
いくらでも小さく出来るとき、「確率収束」するというらしいです。
＃plim とかかくらしい。

例えば、裏が出る場合を 0 表が出る場合を 1 とすると、期待値は
E = 0(1-p) + 1(p) = p
分散は σ^2=(0-E)^2・(1-p) + (1-E)^2・p= p^2(1-p) + (1-p)^2・p = p(1-p)

例えば　p=0.5 で　平均値が期待値(p=0.5)が 0.1 以上ずれる確率は
2.5/n 以下　なので、1% 以下にするには 250回以上必要

ということになります。

こうしてみると、誤差に反比例した回数が必要なようですね。

詳細は「大数の法則」で検索してみてください。

また専門の方がおられましたら突っ込みよろしく。

回答No.4

takurinta

「表が出る回数」については、二項分布に従うので、その極限の振る舞いは正規分布になります。Npのような一点に収束することはありません。

分散がNp(1-p)なので標準偏差にすると√Nのオーダーでばらつきは大きくなっていくことになります。比率がpに収束するのは、分子が√Nのオーダーで増えても、分母がNのオーダーで増えているため、ばらつきは相対的には小さいからです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E5%B8%83

回答No.3

noname#182581

NO2ミスりました

あくまで

確率1で
lim sup (S(N)-Np)/√(2p(1-p)NloglogN)=1
lim inf (S(N)-Np)/√(2p(1-p)NloglogN)=-1

といえるだけです

振動の範囲をとらえているだけなのであって
ぴったり1に収束したらおかしいですよね

補足

回答ありがとうございます。
以前に重複大数の法則からこの式を見ました。
理解できませんでした。

分子は平均からのずれで実際の剥離を表していて、
分母はそれを別の式で表しているということ。
分母の大きさがはくりのおおきさということでしょうか。

分母はプロットするとNの増加関数になってしまったのですが
どこで間違ったのでしょうか。

回答No.2

noname#182581

確率論では
重複対数の法則というものが知られています

それを用いると

S(N)をN回までで表が出た回数とすると
確率1で
|S(N)-Np|/√(2p(1-p)NloglogN)→1
となることがわかります

Nが大きいとき
この分母が
S(N)の平均からの乖離の動きを
大体正確にとらえているわけです

回答No.1

angkor_h

確率ｐとは、
P=表が出る回数÷投げた回数
です。
投げた回数を増やすことで、Pが一定値に収束します。
よって、
> この表が出る回数の試行回数に対する収束性は…
表が出る回数をa
試行回数をnとすれば、p=a/n　になります。

なお、冒頭の確率と推定したい確率と、最後の「収束性」の違いがわからなかったので、
単に確率の計算式を示してみました。

補足

回答ありがとうございます。収束性というのはｐ値への収束具合という意味で使いました。少ない試行回数ではｐ値からのずれは大きく、試行を繰り返すうちにそのずれが小さくなっていくと思うのですが、試行回数とずれの大きさを知りたいと思っています。