コイントスの統計の検定

質問

コインの表が出る確率をxとすると裏が出る確率は1-xになります。
コイントスを2回一組として300回ほど行いました。
表表が、90回、表裏あるいは裏表が150回、裏裏が60回出たとすると、
これが確率的にありうるかどうかを検定で調べたいと考えています。

どんな式になりますでしょうか？

回答No.4

noname#227064

#3の訂正
帰無仮説は
H:「独立なコイントスである」
でした。
余計なことを書いてました。

回答No.3

noname#227064

#2さんのステップ１は、コイントスが独立であることを仮定しているので、2段階にするならステップ2→ステップ1でやらないといけないのでは？

ステップ2の帰無仮説は
H:「表がでる確率は一定で、独立なコイントスである」
となり、検定統計量の計算はステップ2のとおりです。
しかし、表が出る確率を推定しているので自由度は2より1小さい1で検定をする必要があります。

回答No.2

MagicianKuma

面白い問題ですね。初めて見ました。さてNo1さんの言うとおり、検定ですので何らかの仮説を立てる必要がありますね。
私見ですが、2段回ではどうでしょう。
ステップ１
背景にコイントスがありますので、まず表、裏の出現回数から母数(表の出る確率)を推定してみましょう。
300回の試行で（すなわち600回のコイントス）で表＝90*2+150=330回、裏＝60*2+150=270回
なので、表が出る確率はx=330/600=0.55、裏が出る確率=0.45と推定できます。
ところで普通のコインと仮定してみましょう
帰無仮説　H:「このコインは表と裏が同じ確率(0.5)で出る」
検定：平均値が十分大きいので、N(np,np(1-p))の正規分布で近似すると、95%信頼区間で出現確率は0.5±0.04なので、
この帰無仮説は棄却される。すなわち、表裏同じ確率で出るコインとはいいがたい。

ステップ２
次にこのコインは表が0.55、裏が0.45の確率ででるものとし、
帰無仮説　H:「このコインは上記確率で表裏が出て、かつコイントスは毎回独立である。」
検定：上記仮説の下では、表表、表裏(裏表）、裏裏の出現確率は、0.55^2、0.55*0.45*2、0.45^2となりますね。
これに従えば、300回の試行で、90.75回、148.5回、60.75回の理論出現数を得ます。これを自由度2のχ2分布で検定してみます。
χ2=Σ(観測値-期待値)^2/期待値=(90-90.75)^2/90.75+(150-148.5)^2/148.5+(60-60.75)^2/60.75=0.031<5.99(95%信頼区間)
なので、この帰無仮説は容認される。

以上　どうでしょう？

回答No.1

stomachman

ご質問に明示してないけれども、
　　H:「コイントスが毎回独立である」
というのが帰無仮説ですね。（この仮定なしに「確率的にあり得る、あり得ない」と言ってみても全く無意味です。）
　すると、3通りの結果がそれぞれ確率p, q, r:
　　表表 : p = x^2
　　裏裏 : q = (1-x)^2
それ以外 : r = 1-p-q = 2x(1-x)
で生じる。
　表表の出現回数Pだけを考えると二項分布B(n,p,P):
　　B(n,p; P) = (n!/(P! (Q+R)!)) (p^P)((q+r)^(Q+R))
に従うけれども、ご質問の場合はこれじゃ駄目で、「n回の試行における(表表, 裏裏)の出現回数の組み合わせ」の分布を考えなくちゃいけない。出現回数の組み合わせが(P,Q)である確率f(n,p,q; P,Q)は多項分布に従い、この場合
　　f(n,p,q; P,Q) = (n!/(P! Q! R!)) (p^P)(q^Q)(r^R) ただしR = n-P-Q
です。
　さて、xをある値に固定したとき、n=300の試行で「実測値(90, 60)と同等かそれよりもっとアリソウニナイ（確率がそれ以下である）出現回数の組み合わせ(P,Q)のどれか」が観測される確率をS(x)とすると、
● xが0～1の間のどの値であってもS(x)＜α(有意水準）であれば、帰無仮説Hは棄却される。つまり「コイントスは毎回独立というわけではない」が結論です。
● S(x)≧α となるxの範囲があるなら、帰無仮説Hは棄却できず、つまり「あり得ないとは言えない」。もうちょっと丁寧に言うなら、「Hが正しいと仮定したとき、xが適切な値であればあり得ることである」。で、そのxの範囲が「Hが正しいと仮定したときのxの推定範囲」ってことです。

　真面目に計算するには、S(x)をf(n,p,q; P,Q)を使って表すこと。プログラムを作って数値計算するんならこのままで行けるけど、手計算をするには適切な近似を使う必要があります。

　しかしご質問の例では、仮にP=90が丁度期待値通りだとしてxを計算し、これに基づいてQの期待値を計算すると、観測値とデキスギなぐらいよく一致する。ということは、(xの範囲の推定を求めているわけじゃないんで）S(x)を計算してみるまでもなく、帰無仮説Hが棄却されることはないわけで、すなわち「あり得ないとは言えない」ってことです。