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複素数や極限についての疑問
麻野 なぎ（@AsanoNagi）の回答
三角関数についていえば、複素関数における三角関数は、三角比とは関係ないと思っていた方がよいです。 複素関数においては、sin(x) や cos(x) の x が複素数になるわけで、もともと、「辺の長さ」という概念とは相容れなくなります。 ただし、実数も複素数の部分集合なので、x が実数の時には、見慣れたsin() や cos() と同じ結果になります。 むしろ、複素関数の範囲では、 sin(x) を微分すると、cos(x) になる。 cos(x) を微分すると、-sin(x) になる。 その他、以前に学んだ、三角関数の公式がなりたつ。 そういう性質を持った関数だと、割り切った方が、まだ理解しやすくなると思います。 数学全般についていえば、高校以前は、「こういう関数はこういう計算法補で計算する。あるいは、この関数はこの長さとこの長さをこう組み合わせて計算する」という形で、関数を決定して、具体的に数字を入れて計算してみるというイメージがあります。 複素関数論などになると、むしろ、「こういう性質を持った関数を sin(x) と置く」というニュアンスの方が強くなります。 だから、数字を代入して計算して式の変形を確かめるというよりも、「この関数は、この関数とこういう計算をすると、こうなるから、こういう変形をする」という流れになります。 これは、三角関数にしても、「辺と角の関係」であったものが、「微分したらこういう形で表される関係を表現したもの」（たとえば、振り子の振動や波の動きは、微分方程式というもので表されて、それをとくと、sin や cos がでてきたりします） また、こういう「抽象化」によって、目に見える三角形というものしか問題にできなかったのが、目に見えない電気やら力やら、あるいは、時間だとか空間だとか、そういうものを取り扱えるようになるわけです。 この流れで、関数の形（つまり、計算方法）を最初に決めて、計算してみるということではなく、f(x)という関数の持つ性質をいろいろと研究し（f(x)の変化の様子が分かるとか、f(x) が、「ここまでしか大きくならない」という上限が見つかるとか）これから、f(x)の姿にたどり着いたりします。 だから、最初は、f(x)が単なる記号（中身はこれから調べるわけですから）に見えるのです。
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回答ありがとうございます。 ものすごい分かりやすかったです。 助かります。