高次導関数について

質問

log(1-x^2)の高次導関数を求めよという問題なんですが
どうしてもわかりません
教えていただきたいです。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

f(x)=log(1-x^2)
真数1-x^2>0の条件より -1<x<1
1-x>0, 1+x>0なので
=log((1-x)(1+x))
=log(1-x)+log(1+x)
f'(x)=-1/(1-x) +1/(1+x)=1/(x-1) +1/(x+1)=(x-1)^(-1) +(x+1)^(-1)
f''(x)=f^(2)(x)=-{(x-1)^(-2) +(x+1)^(-2)}
f^(3)(x)=(-1)^2*2!*{(x-1)^(-3) +(x+1)^(-3)}
f^(4)(x)=(-1)^3*3!*{(x-1)^(-4) +(x+1)^(-4)}
…
f'(n)(x)=(-1)^(n-1)*(n-1)!*{(x-1)^(-n) +(x+1)^(-n)} (n≧1)

お礼

役にたちました。ありがとうございます。

回答No.3

alice_44

最初から log を分割しようとすると、
真数条件についてゴタゴタした考察が必要になる。
とりあえず一回微分してしまえば、
f' は分数関数だから、定義域上で何度でも
簡単に微分できる。
分数式は、部分分数分解してしまえば、
ベキ関数(ただし負ベキ)の和であることが要点。

回答No.1

spring135

y=log(1-x^2)=log(1+x)+log(1-x)
y'=1/(1+x)-1/(1-x)=(x+1)^(-1)+(x-1)^(-1)
y''=(-1)(x+1)^(-2)+(-1)(x-1)^(-2)

以下適宜法則性を見つけてください。