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高次導関数について質問です。
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f(x)=log(1+x^2) f'(x)=f^(1)(x)=2x/(x^2+1) =1/(x+i) +1/(x-i) f''(x)=f^(2)(x)=-1/(x+i)^2 -1/(x-1)^2 f^(3)(x)=2/(x+i)^3 +2/(x-1)^3 f^(4)(x)=(-1)^3*3!{1/(x+i)^4+1/(x-i)^4} … f^(n)(x)=(-1)^(n-1)*(n-1)!{1/(x+i)^n +1/(x-i)^n} Im{f^(n)(x)}=(-1)^(n-1)*(n-1)!Im{(x+i)^n+(x-i)^n}/(x^2+1)^n =0 なので f^(n)(x)=(-1)^(n-1)*2(n-1)!*cos(n*tan^-1(1/x))/(x^2+1)^(n/2) (n=1,2,3,…) となります。
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- sunflower-san
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複素数を使って書くと簡潔に (-1)^(n-1)×(n-1)!×{(x+i)^(-n)+(x-i)^(-n)} となります。 係数を実数の範囲で書く場合は、{}内を、 (x+i)^(-n)+(x-i)^(-n) = (1+x^2)^(-n)×2{x^n - nC2 x^(n-2) + nC4 x^(n-4) - ・・} と書き直すこともできます。 ただし、式の中でnCkは二項係数を表すものとします。
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