連続の式の導出について質問です。

質問

画像中の式についていくつか質問があります。

質問(1)
dsを通って流れ出る流体の質量はρ↑v・↑n
で表せる理由がわからないので教えてください。

質問(2)
全体で考えるとVの中の質量の変化は
(1)で等号で結ばれている3つの式がありますが、これらが何を表現しているのか、なぜこうなるのか教えてください。

質問(3)
(2)が任意の体積で成り立つためには、
最後の行の連続の式が成り立つのはなぜですか？

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回答No.1

tawashi8 · ベストアンサー

どういう問題で、また式の導出過程も分からないので自信はありませんがあくまで参考程度に。

質問（１）
一般には面積⊿Sの面に垂直な向きの速さｖで通過する流体の質量⊿ｍは⊿ｍ＝ρｖ⊿ｔ⊿Sと表されます。ｖ⊿ｔは単位時間当たりに移動した流体の距離で、v⊿ｔ⊿Sは体積です。単位時間当たりでその体積内にどれ程の流体が入ってきたか、すなわち質量は体積ｖ⊿ｔ⊿Sに密度ρを掛けた物になります。これを面全体で面積分すれば質量ｍが得られます。ある面をある時間内に通過する粒子の量がもし多ければ、その粒子の流れは密度の大きいものである、ならばその流れは質量の大きい物だろうという寸法です。これを流束密度ベクトルと言います。

もし、流体の速度↑ｖが面に垂直ではない無い場合は、その面に垂直な法線ベクトル↑ｎとの内積をとる必要があります。ここでは面ｄSに↑ｎを掛けた面素ベクトル↑ｄSという物を用います。↑ｖ・↑ｄS＝ｖｄS cosθとなり、ｄS cosθは速度↑ｖに垂直な面積の成分です。dS cosθはdSより小さくなるので、通過する流体の量も減ってしまいます。図が無いので分かりにくいと思いますが...。ただイメージとしては、セロハンテープ等の丸い輪っかを目の前に視線に対して垂直に持つと、円の面積そのままで見えるはずです。これを横に回すと楕円に見えて見える面積が小さくなりますよね。つまり自分の目からビーム等が直線状に出てるとすれば、同じ領域でも傾きがあると、その領域を通過するビームの量が変化します。だから内積↑ｖ・↑ｎをとるのです。

質問（２）
左の式から(1)式、(2)式、(3)式とします。
(1)式の意味は、領域Vを通過する流体の密度の時間変化。(2)式の意味は、密度が時間によって変化する場合の流体が面Sを通過した質量。(3)式は(2)式の内積↑ｖ・↑ｎを、面に垂直な向きの速度ｖｎに直した物だと思われます。この時の密度は時間だけではなく、その位置によっても密度が異なるので、正しくはρではなくρ（ｒ、ｔ）の２変数関数で表現されます。だから、(1)式は微分ではなく、偏微分で書かれているという訳です。(2)、(3)式に負号が付く理由は、後で説明します。

質問（３）
積分する領域（範囲）は同じで両辺が等号なのですから、∫の中同士も等号が成り立ちます。多少複雑な形にはなってますが、要するに∫ｆ（ｘ）ｄｘ＝∫ｇ（ｘ）ｄｘならば、ｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）です。
そして連続の式についてですが、∇・(ρ↑ｖ)は湧き出し、つまり流体が出ていく（面を通過していく）量を３次元に拡張したものです。負号が付くのは、内部から流体が出て行けば内部の密度は下がる事を意味しています。（出て行った量）＝（密度の変化量）という関係は、出た分だけ密度が変化する（小さくなる）という事です。すなわち、出て行った量（∇・（ρ↑ｖ））＋密度の増加分（∂ρ/∂ｔ）＝０は差し引きゼロで、流れは連続的で定常状態を保っているという意味です。これは電磁気学でいう電気量保存則と同じような事で、電流密度ベクトルを↑ｊとすれば、それは∂ρ/∂ｔ＋∇・↑ｊ＝０となり、電気量が保存されている事を意味してるのです。

自分は物理学科なので、機械工学系とはアプローチが違うかもしれんが少しでも参考になれれば

お礼

理解できました。
どうもありがとうございました。