この行列の命題の真偽判定問題です。

質問

P ∈ R＾(n×n) は, i,j = 1,...,n についてpij ≧ 0 およびj = 1,...,n について
Σ(i=1からnまで) pij = 1を満たす。
ただし, pij はP のi 行j 列要素である. 以下の各命題（１）,（２）,（３）について,
それが成立するならば"成立する" と記し, それを証明せよ.。成立しないならば”成立しない"
と記し, 2 × 2 行列の反例と，その反例がその命題を満たさない理由を示せ。

（１）P は正則である.

（２）x =t(x1　x2　...　xn)∈ R^n、　z =t(z1　z2　...　zn)∈ R＾n、　z = Px のとき,Σ(i=1からn)xi = 1 ならば
Σ(i=1からn)zi = 1 である.

（３）P を非対称とし, P の固有ベクトルをv1,..., vn とする. このとき, i ≠ j なら
ば, vi,vj は直交する.

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(1)det(P)=0より、Pの逆行列が存在しないため、命題を満たさない。

(2)Σ(i=1からn)zi = nとなるため、命題は満たさない。

(3)がよくわかりません。よろしければ解説をお願いします。

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

(1)
成立しない
P=
(1/2,1/2)
(1/2,1/2)
とすると
Σ_{i=1～2}pi1=p11+p21=1/2+1/2=1
Σ_{i=1～2}pi2=p12+p22=1/2+1/2=1
だけれども
Pは正則でない

(2)
成立する
P=(pij)
Σ{i=1～n}pij=1
x=(xi)
Σ{i=1～n}xi=1
とすると
z=Px=(Σ{j=1～n}pijxj)

Σ_{i=1～n}zi
=Σ_{i=1～n}Σ{j=1～n}pijxj
=Σ{j=1～n}Σ_{i=1～n}pijxj
=Σ{j=1～n}xj
=1

(3)
成立しない
P=
(1/3,1/3)
(2/3,2/3)
とすると
Σ_{i=1～2}pi1=p11+p21=1/3+2/3=1
Σ_{i=1～2}pi2=p12+p22=1/3+2/3=1
だけれども
Pの固有値は0,1
0に応ずる固有ベクトルは
(1;-1)
1に応ずる固有ベクトルは
(1;2)
その内積は
<(1;-1),(1;2)>=1-2=-1≠0
だから
直交しない

回答No.4

Tacosan

答えは #3 に書かれちゃってるけど....

質問文にある条件
Σ(i=1からnまで) pij = 1
が何を言っているのか確認すべし.

回答No.2

Tacosan

問題の確認だけど, これは「各命題が任意の P に対して成立するかどうかを答える」という問題でいい?

で, 問題をよく読んでください. 「成立するならば"成立する" と記し」あるいは「成立しないならば”成立しない"と記し」って書いてあるでしょ? だから, 「成立する」とか「成立しない」とか書くべき. 「満たす」や「満たさない」でもわかるといえばわかるけど, 「問題の指示に従っていない」と判断されても文句は言えない. あと, あなたの書いた「満たさない」が「成立しない」という意味であれば, 「2 × 2 行列の反例と，その反例がその命題を満たさない理由を示せ」とも書かれているんだからちゃんと反例を書かなきゃいけない. この質問文のどこに反例が書いてありますか?

(3) については, そもそも P を決めないと固有ベクトルなんか決まるはずがない. だから, この命題が成立すると思ったら「任意の P に対して成り立つ」ことを示さなきゃならない (当然「固有ベクトルviのとる値」を具体的に書くことはほぼ不可能) し, 「成立しない」と思ったら 2 × 2 行列 P で固有ベクトルが直交しないものを探し出す必要がある.

ということで「成立する」と思うか「成立しない」と思うかで方針がまったく違う. あなたはどっちだと思いますか? そして, そう思った理由は?

補足

あ、うっかりしていました。たしかにこれではダメですね...問題文をもっとちゃんと読むべきですね。お恥ずかしい。

(1)成立しない。
P=（1 1; 1 1）（；は改行を表す）det(P)=0より、Pの逆行列が存在しないため、命題を満たさない。

(2)成立しない。
P=（1 1;1 1),x=(1 1)と置くと、z = Px =（2 2）となるため、命題は満たさない。

(3)は成立しないと思いました。
しかし、問題文に、
P ∈ R＾(n×n) は, i,j = 1,...,n についてpij ≧ 0 およびj = 1,...,n について
Σ(i=1からnまで) pij = 1　
こう書いてあるので、Pの成分は全て1になると思うのですが、非対称とするという意味がよくわかりません。対称行列になると思うのですが...。i≠ｊのij行列ということでしょうか？
成立しないと思った理由は固有ベクトルが全て同じになると思ったからです。

回答No.1

Tacosan

ん, 全滅だな.

「よくわからない」というのは, どこで困っているということですか?

補足

全部間違えてましたか...悲しいです。

固有ベクトルviのとる値です。これがわかればviとvjの内積が0になるということを示して、直交を示せばいいのかなと思いました。

よろしければ、(1)と(2)の解説もお願いします。