数学、合同式

質問

合同式についての質問です。

参考書に、２のｋ－２乗より小さい正の数ａについて
５のａ乗≡１（ｍｏｄ　２のｋ乗）
となるようなａのうち最小のものをＡとすると明らかにAが２のｋ乗の約数になるとありました。
その理由がわかりません。

オイラーの定理だと
５の２のｋ－１乗乗≡１（ｍｏｄ　２のｋ乗）
となってｋ－２乗より小さい場合について不明なままです。
ｋが５までについて調べてみましたが条件に当てはまるものがなくやはり不明のままです。

明らかにと書いてあったので大したことないのでしょうが思いつきません。
理由をおしえてください。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

あ、失礼。「a の集合がイデアル」は、まずかった。
± a の集合 ∪ {0} がイデアル　…じゃないとね。

イデアルを避けるとしても、要するに a が　A の倍数
であることを書いてしまえばいい。
A No.1 の話に、有理整数環が単項イデアル環であること
のよくある証明を、そのまま埋め込めば ok。

5^a≡1 (mod 2^k) とし、
a = Aq+r, (q,r は整数、0≦r＜A) と置くと、
5^A≡1 (mod 2^k) より
5^r≡(5^r)(5^A)^q≡1 (mod 2^k).
これは、r が 0 または条件を満たす a の一つである
ことを示している。
r＜A だから、r が a の一つであるとすると、
A が最小の a であることに反する。よって、r = 0.

すなわち、a はどれも A の倍数である。

お礼

「明らか」という言葉は信用できませんね。

ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

あ、誤字だ。

5^(a+b)=(5^a)(5^b)≡1 (mod 2^k)

回答No.1

alice_44

そのような a は、最小の A の倍数だから。

5^a≡1 (mod 2^k) を満たす a の集合は、
整数環のイデアルになる。
任意の整数 n について 5^(an)=(5^a)^n≡1 (mod 2^k) だし、
5^a≡1 (mod 2^k), 5^b≡1 (mod 2^k) のとき
5^(a+b)=(5-a)(5-b)≡1 (mod 2^k) となるから。
整数環が単項イデアル環であることから、A は(a の集合)の生成元。

オイラーの定理から、2^(k-1) も条件を満たす a の一つだから、
A は 2^(k-1) の約数である。

お礼

早速ありがとうございます。

イデアルを使わない方法はありますか？
その方面の知識を使わないで書かれているはずなのです。