わかりません

質問

(1)y=-sinx+cosx(0≦x<2π)

(2)y=sinx+√3cosx(0≦x≦π)

(3)y=4sinx+3cosx

(4)y=2sinx+cosx(0≦x≦π)

上の最大値最小値の解き方と答えを教えてください

また(1)(2)はxの値もよろしくお願いします

回答No.1

Grignard007 · ベストアンサー

sin(a+b)=sina(cosb)+cosa(sinb) の公式はご存じでしょうか。
これを使えば全て解けます。
つまり括弧内のsinやcosを係数とみなせばいいのです。

１）cosb=-1,sinb=1となりますが、これを同時に満たすようなbは存在しませんよね。
　　そこで両辺に同じ数を掛けたり割ったりして二乗の和をうまく１にする、という操作（規格化）を行います。
　　つまりcosb=C*cosb,sinb=C*sinb と見なします。（cの分だけ大きくなってる）
　　このとき(ｃsinb)^2+(ccosb)^2=1を考えることにより、c=√2とすれば上手くいきます。
cosb=-1/√２,sinb=1/√2　となるようなbは3π/4ですよね。
　　従ってこの式はy=√2sin(x+3π/4)と書けるわけです。

　　xは単位円を一回転出来るわけですから、
　　最大値はsinの括弧内がπ/2の整数倍となるとき、つまりx=７π/4のとき最大値√2
　　最小値は括弧内が3π/2の整数倍となるとき、つまりx=3π/4のとき最小値-√2

以下同様にすると解けます。

２）y=２sin(x+π/3)
　　ただしxが０からπまでなので
　　x=π/6のとき最大値2
x=πのとき最小値-√3

３）ｙ＝5sin(x+b)
ここでbはcosb=4/5,sinb=3/5を満たす角度です。
　具体的なbが分からなくとも最大最少は分かりますよね。
　　定義域が書いていませんが０から２πまで一周するとすると、最大値は５で最小値は-5です。

４）y=√5sin(x+b)
cosb=2/√5,sinb=1/√5です。
　　つまりbは０からπ/2の範囲に入ってますよね。
　　よって最大値は√5、最小値は-sinbより-1/√5です。

すべてsinの形で表され、そのsinは始まりの位置が０ではなく角度bである、ということさえ分かっていれば簡単に解けます。

補足

その公式はまだならっていなくて…
今は三倍角までしかやってないんです泣
すいません‼
でもならっていなくても分かり易かったです