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数学
mnakauyeの回答
- mnakauye
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こんにちは。 これは倍数・約数の問題と文字式の因数分解(言い換えると文字式の約数)を組み合わせた整数の問題です。 N^2-1=280A Aは正の整数 という関係を満たす整数を、Nが2から700までの数で探すわけです。 N^2-1は、容易に因数分解できますから、整数280も約数を考えてしまうと、 (N-1)(N+1)=2^3X5X7XA となりますから、右辺を何通りかの2つの数の積になることの可能性を探る問題になります。 可能性を狭めるために、左辺を考えれば、N+1とN-1は、ともに偶数か、ともに奇数ですね。 奇数の積は奇数ですから、280の倍数にはなりえません。 しかも、N-1とN+1差が2ですから、続く二つの偶数が280の倍数と言うことになります。 二つの偶数と言うことから、280の約数のうち、3つの2のうち2つは、N-1 とN+1の約数になりますから、 N-1=2B、N+1=2C とすると、BとCは1違いですから、 一方は偶数、他方は奇数で BxC=2X5X7XAとなります。 B,Cの範囲を考えると、Nは、2から700までですから、B,Cは350までになります。 この条件でで、2X5X7XAを1違いのBとCの2つの整数の積にすれば良いのです。 一方が、奇数であることを考えると、その奇数が、 ア)5と7の倍数のとき、(奇数は35の倍数、偶数はその1違い) イ)5だけの倍数のとき、(2と7は偶数側に入る・・・偶数は14の倍数、奇数は5の倍数で1違い) 14の倍数で5の倍数の1違いと言うことは、1の位は4か6になるので、14にかける数の1の位は、1か4か6か9 ウ)7だけの倍数のとき、(2と5は偶数側に入る・・・偶数は10の倍数、奇数は7の倍数で1違い) この奇数は10の倍数の1違いですから 1の位が1か9になるので7にかける数は1の位が3か7になる。 エ)5も7も含まない、奇数、(2と5と7は偶数側に入る・・・つまり偶数は70の倍数、奇数は1違い) に分かれます。 このそれぞれで1違いの偶数奇数の一方を、捜せば良いことになります。 ア)とエ)はまとめられますね。イ)ウ)には、それぞれア)の場合が含まれる可能性があるので注意 ここからは、範囲を考えて答える。 ア)10とおり イ)10とおり ウ)10とおり エ)9とおり こたえは39通り
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