単位線分と長さ

質問

単位線分とは長さが１の線分である、という記述をたまに見ますが、違和感があります。
任意の線分を選び、それを単位線分と呼び、今注目する線分が単位線分の何倍かで、長さ１とか長さ２という呼び方が成立するわけですよね。
ならば、単位線分自身について、長さ１という表現を適用することはできないのではないでしょうか？
なんというか、自己言及的になってしまうというか。

回答No.15

amaguappa

6,7,12です。哲学カテはダブルポストだったため最初からこちらに回答しています。

長さ1の線分を1回転させることができる図形の中で面積がもっとも小さいものは何か。(＝掛谷問題 by Wikipedia　http://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set)

Un ensemble de Besicovitch est un ensemble de points du plan contenant un segment unitaire dans chaque direction et de mesure nulle.
("ベシコヴィッチ集合とは、あらゆる方向の単位線分を含みかつ面積がゼロとなる平面に、属する点の集合である"　＝Ensemble de Besicovitch by Wikipedia　http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Besicovitch)

単位線分を使う幾何学的・解析学的状況をあげてみました。
ちなみに英語でunit line segment 、フランス語でsegment unitaire、これらは単位線分と訳しても長さが1の線分と訳しても同じ意味です。

これらの問題を見てお分かりだと思うんですが、単位線分はただの短い針のイメージなんですね。
そもそもお侍が厠で刀を振ったらどうなるかしらというサイズ感覚によって問題は始まるのですが、
刀ではなく数値1の針にするという抽象化によって、平面図形を求める問題は普遍化し、観念的な操作性も高められています。

当時世界中の数学者が、マッチ棒か万年筆を手にしたと思います。
単位線分の1なんて、だれも長さそのものを問題にしているのではないでしょう。
数学の、数の操作ができる体系を開くのにふさわしい値だから1なんでしょう。

> また、線分それ自体に（物質的に）注目すると、私がそもそも問題にしている、単位線分の長さを数で表現できない（すなわち1とできない）という問題にぶち当たると思います。
> その問題を回避するために、性質である長さに着眼することにしたのです。

あなたのそのような表現できなさを仮にxという「長さ」で表したとしますと、
掛谷やベシコヴィッチの問題の数式のあらゆる箇所に、xを付けることになるでしょうが、
求められた比においてxを約せば、1xたるxはしょせん1ですよ。
「ここは長さxに対して√2xで、、、」なんて、xってそんなに大切でしょうか？
工学ならxを約したりしないでしょうがね。
抽象化ってこういうことではないですか。

単位線分は自己措定しない、とわたしは繰り返していますが、
1とは公理系全体を見通しての公差や公比での可算性を示しているのだということはあらためて念を押したいわけで、
それ以外に1が何を表現しうるとあなたは信じているのだろうかと疑問になります。
都合のよい原器１個ぶん、xであろうと1個ぶん、そして世界はそこからどのように導き出されるかが数学なのではないのですか。

> 時間も明らかに物質ではありませんよね。

時間の数え方は物質の数え方にほかならないです。人間は時間を物質によってしか認識できませんから。
物質を離れた時間について明らかなことは何も得られていないと思います。
昼夜のサイクルを12分割したのは空間化と可視化によりますし、1秒はセシウム133原子の基底状態にある二つの超微細準位間の遷移に対応する放射の 9 192 631 770（約100億）周期にかかる時間という取り決めです。

> でも、時間に関しても、たとえば、単位時間を秒と定義し、それがいくつ分かで、1秒とか８秒という表現をしますよね。
> 単位長に着目することは問題だと仰いますが、単位長に着目することと、単位時間に着目することは、何が違うのでしょうか。

それは誤解です。単位「長」なるものでは「曲線」に適用されてしまうと述べたのです。
線分でなければ、あの掛谷の針になりません。
また、単位時間も、全体性への見通しのうえで得られる数え方にすぎません。小石です。棒きれです。
長さって何のことですか？
楽しいと短くなったり、詰まらないと伸びたりするじゃないですか。
禅ですと、大きさとか長さとかいったものはおしなべて、対象にそなわっているのか自己にそなわっているのか聞かれますよ。

参考URL：

http://www4.ocn.ne.jp/~arai/semi208/KakeyaProblem.html

お礼

ありがとうございます。

まず、はっきりさせておきたいことは、私の質問に対する回答者様の考えです。
私の質問は、「単位線分の長さを1とすることはできるのか」という極めてシンプルなものです。
まずは、できるかできないか、という回答者様の立場を明示してください。

私は、回答者様の話には概ね同意しています。
長さ1の1は個数（基数）の1だという考えには賛同しています。
回答者様は、「時間の数え方は物質の数え方に他ならない」と仰いましたね。
私の考えもまったく同じです。
その点に関しては、どこも対立していません。
ただ、非物質である時間について物質と同じ数え方ができると仰るのに、長さについてそれができないとするのはなぜでしょう？
私は、単位線分の長さに着目すると言いましたが、結局は、その長さを物質と同じように数えています。
単位長一つ分なら、長さ1。
単位長二つ分なら、長さ２。
という具合です。
時間は物質のように数えられるが、長さは数えられないとする根拠は何でしょうか？

＞あなたのそのような表現できなさを仮にxという「長さ」で表したとしますと、
掛谷やベシコヴィッチの問題の数式のあらゆる箇所に、xを付けることになるでしょうが、
求められた比においてxを約せば、1xたるxはしょせん1ですよ。
「ここは長さxに対して√2xで、、、」なんて、xってそんなに大切でしょうか？
工学ならxを約したりしないでしょうがね。
抽象化ってこういうことではないですか。

その通りです。
ただ、その前提には必ず長さxがあります。
無意識レベルであっても、単位長さxの存在なしに、1という表現は成り立ちません。
なぜなら、1とは「何かが1ある」ということに他ならないのですから。
もちろん、数学では、物理学とは違って、単位量を限定しません。
メートルとか尺とかフィートなどのように、特定の量を問題にすることはなく、単に単位量ということで、抽象化して考えます。
仰る通りです。
対立していません。

＞それは誤解です。単位「長」なるものでは「曲線」に適用されてしまうと述べたのです。
線分でなければ、あの掛谷の針になりません。

ですから、ここでは、単位「線分」の長さを単位長としているのですよ。
単位「線分」です。
曲線ではありません。

＞長さって何のことですか？
楽しいと短くなったり、詰まらないと伸びたりするじゃないですか。

それは時間じゃないですか？
それも心理学的な時間ですよね。

補足

ちなみに、私は、質問当時は、単位線分の長さを1とはできないという立場でしたが、alice_44さんの回答をヒントに、今では、1と表現できる、という立場に変えました。
そもそも、私がどうして1とできないと思っていたのかというと、たとえば、ものさしそれ自体でものさしそれ自体を「物理的に」測ることはできませんよね。
なぜなら、ものさしそれ自体とまったく同じものさしは存在しないからです。
形・大きさが同じでも、まさにそのものさしではない。
その感覚で考えていたので、1とはできないのではないか、と思ったのです。
しかし、数学は元々観念的なものですから、物理世界ではなく、観念世界で考えなくてはいけないと思い直しました。
そして、単位線分から長さだけを観念的に取り出し、それに着眼することで（この操作は極めて観念的なので、言葉だけで伝わっているか不安ですが）、単位線分の長さは単位長一つ分であると判断でき、よって長さ1であるという結論に至ったのです。
このように、質問当時と今とでは、考えが変わっています。