サイコロを50回ふり1が5回以上連続で出る確率

質問

サイコロを50回ふり1が5回以上連続で出る状況が発生する確率を算出する式を教えてください。
1が出る確率は1/6とします。
大変お手数おかけいたしますがどうぞよろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

説明を試みよう。
前提が「義務教育程度の知識」だと、少々難しいかも知れないが。

p[n] の間の関係式は、
p[n] - p[n-1] = (1 - p[n-6])(5/6)(1/6)(1/6)(1/6)(1/6)(1/6).
これの立式は…

n 回目に初めて 5 連続 1 が出るというのが、
n-1 回目までは 5 連続が出ず、
n 回目までには 5 連続が出るということだから、
その確率は p[n] - p[n-1].

一方、そのとき何が起こっているか、内容を考えると、
最初の n-6 回目までは 5 連続が出ず
最後の 6 回が 1以外,1,1,1,1,1 ならよいのだから、
n-6 回目までに 5 連続が出ない確率 1 - p[n-6] と
その次に 1以外 が出る確率 1 - 1/6 と
その後 1 が 5 回出る確率 (1/6)(1/6)(1/6)(1/6)(1/6) を掛けて、
確率は (1 - p[n-6])(5/6)(1/6)(1/6)(1/6)(1/6)(1/6).

両者が等しいという式が、上記の関係式になる。
p[n] = p[n-1] + (1 - p[n-6])(5/6)(1/6)(1/6)(1/6)(1/6)(1/6)
と書き換えると、n を順に増やしながら p[n] を次々に
求めてゆくのに使える。そういう式を「漸化式」と呼ぶ。

小さい n については、
サイコロを振る回数が 5 回未満では 5 連続は起らないから、
p[0] = p[1] = p[2] = p[3] = p[4] = 0.
5 回目に 5 連続が起こるのは、全部 1 が出た場合だから、
p[5] = (1/6)(1/6)(1/6)(1/6)(1/6).
この p[0] から p[5] を出発点に、漸化式を使って
p[50] まで求めてゆけばいい。

p[n] を n の式で表してしまう方法も、あるにはあるが、
それを「義務教育程度の知識」から始めて解説するのでは、
講義しなければならないことが多過ぎる。
コツコツ p[50] まで計算してください。

私は、根気がないので、パソコンにやらせてしまった。
分数を、小数で近似せずに分数のまま計算してくれる
手ごろなプログラム言語があったので、それを使った。
興味があれば→ http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/

以下のプログラムを実行すると、

OPTION ARITHMETIC RATIONAL
OPTION BASE 0
DIM p(50)
LET p(0)=0
LET p(1)=0
LET p(2)=0
LET p(3)=0
LET p(4)=0
LET p(5)=(1/6)^5
FOR n=6 TO 50
LET p(n) = p(n-1) + (1-p(n-6))*(5/6)*(1/6)^5
NEXT N
PRINT "p[50]=";p(50)
END

以下のよう出力される。

p[50]= 4109288018262124589373497083105433/831565100272391008892118930510839808

最後に小数にすると、p[50] ≒ 0.004941…、
極大雑把には、約 0.5% ぐらいか。

お礼

どうもありがとうございます。すみません、

この p[0] から p[5] を出発点に、漸化式を使って
p[50] まで求めてゆけばいい。

の求め方がわかりません。
もしよろしければ
http://okwave.jp/qa/q8125745.html
で教えてください。
大変お手数おかけいたしますが、どうぞよろしくお願いします。

回答No.2

k_kota

まず、サイコロを50回振った時に出てくるパターンを全部計算する。
これは実際の数字にしないほうが良い、累乗でOK。

次に、5回以上連続で出るパターンの総数を出す。
これが難しいんだけど、1回目から5回連速で出るパターンと2回目から5回連続で出るパターンとってのを足せばいい。

もうちょっと言うと、5つは6パターンしかなくて、他は45個の全パターンを出せばいい、ただし、2回目以降は直前の回とは連続していないので、
その点考慮する。

全てのパターンは当確率なので、全体で5回以上連続のパターンを割ればいい。

自分で考える必要があるならこれ以降は自分で考えて下さい。
答えだけ必要だったら身近な知り合いに聞いて下さい。
義務教育レベルでも時間を掛ければ問題なく解けます。

補足

どうもありがとうございます。教えてほしいのは答えじゃなく式です。
もし式をご存知でしたら教えていただけるとありがたいです。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.1

alice_44

n 回振って、5 回以上連続で 1 が出る確率を p[n] と置く。
n 回目に初めて 5 連続 1 が出る確率 =
p[n] - p[n-1] = (1 - p[n-6])(1 - 1/6)((1/6)の5乗).
線型漸化式だから、解けないことは無いんだろうが、
特性方程式が 5 次だから、どんなもんかな？
p[50] まで漸化したほうが早いかもしれない。

補足

どうもありがとうございます。
私は義務教育程度の知識しかないのでできるだけ易しい式で答えていただけると大変ありがたいです。
どうぞよろしくお願いします。