ネイピア数の定義について

質問

ネイピア数の定義は複数ありますが、それらが同値であることを証明してください。

回答No.2

HIROWI02 · ベストアンサー

ネイピア数証明は高校基礎ですね。

私は収束数列による定義のみ証明します。

他はまた誰か証明してくれると思います。
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まず数列{An}、An=(1+1/n)^n (n=1.2.3…)の極限を考える。

２項定理より

An=(1+1/n)^n=1+(n/1!)(1/n)+{n(n-1)/2!}{1/n}^2+……　　⇒(1)

An+1=1+1/1!+(1/2!){1-(1/n+1)}+……　　　　　　　　　　　 ⇒(2)

(1)、(2)の右辺を比べると

A1<A2<A3<……<An<An+1<An+2<……　　　　　　　　　　⇒(3)

と数列{An}は単調増加である。さらに、

An=(1+1/n)^n<1+1/1+1/2+(1/2^2)+…+{1/2^(n-1)}=1+{1-(1/2)^n/(1-1/2)}

※An＜3-(1/2)^n-1＜３　　(n=1.2.…）　　　　　　　　　　　⇒(4)

(3)、(4)より{An}は単調増加数列で、しかも一定の数３をこえない。
ゆえに{An}は収束する。その極限をeとすると、

　　　　　　　　　　lim[x⇒±∞](1+1/n)^n=e

このeを超越数であるネイピア数と呼ぶ。

お礼

回答ありがとうございます。質問の仕方が悪かったようです。私が聞きたかったのは、
　lim[x⇒±∞](1+1/x)^x＝lim[x⇒0](e^x-1)/x
の証明でした。
後に調べてみたらhttp://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/other/kyokugen/henkan-tex.cgi?target=/math/category/other/kyokugen/e-no-teigi.htmlにありました。

回答No.1

hirama_24

http://www2.nepia.co.jp/homeuse/lineup_tissue.html

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