ネピアの定数の微分

質問

ネピアの定数のｘ乗を微分するとネピアの定数のｘ乗になるのはどうしてですか？？？不思議でたまりません。教えてください。

回答No.2

proto

(e^x)'=e^xのことですかね。
なぜそうなるかといわれたら、そうなるようにeの値を決めたからです。

e^xを微分してみればわかるんですが、
　　(e^x)' = lim[h→0]{(e^(x+h)-e^x)/h}
　　　　= lim[h→0]{(e^x)*(((e^h)-1)/h)}
　　　　= (e^x)*lim[h→0]{((e^h)-1)/h}
よって
　　lim[h→0]{((e^h)-1)/h} = 1
が示せれば(e^x)'=e^xが示せたことになるんですが、
ここでt=(e^h)-1と変数を変換すると
　　lim[h→0]{((e^h)-1)/h} = lim[t→0]{(log((1+t)^(1/t)))^(-1)}
となります。
ところでlim[t→0]{(1+t)^(1/t)}=eとなるようにeが定義されているので、
さっきの式は
　　lim[h→0]{((e^h)-1)/h} = (log(e))^(-1)
log(e)=1ですから、結局
　　lim[h→0]{((e^h)-1)/h} = 1
です。

よって(e^x)'=e^xが示されました。

結局
　　e = lim[t→0]{(1+t)^(1/t)}
と決めたところにすべてのカラクリがあるようです。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。これでまた勉強に取りかかれそうです。

回答No.1

noname#69788

ネピアの定数とはeのことですか。

お礼

はい。