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ネピアの定数の微分

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ネピアの定数のx乗を微分するとネピアの定数のx乗になるのはどうしてですか???不思議でたまりません。教えてください。
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回答 (全2件)

  • 回答No.2

ベストアンサー率 47% (366/775)

(e^x)'=e^xのことですかね。
なぜそうなるかといわれたら、そうなるようにeの値を決めたからです。

e^xを微分してみればわかるんですが、
  (e^x)' = lim[h→0]{(e^(x+h)-e^x)/h}
    = lim[h→0]{(e^x)*(((e^h)-1)/h)}
    = (e^x)*lim[h→0]{((e^h)-1)/h}
よって
  lim[h→0]{((e^h)-1)/h} = 1
が示せれば(e^x)'=e^xが示せたことになるんですが、
ここでt=(e^h)-1と変数を変換すると
  lim[h→0]{((e^h)-1)/h} = lim[t→0]{(log((1+t)^(1/t)))^(-1)}
となります。
ところでlim[t→0]{(1+t)^(1/t)}=eとなるようにeが定義されているので、
さっきの式は
  lim[h→0]{((e^h)-1)/h} = (log(e))^(-1)
log(e)=1ですから、結局
  lim[h→0]{((e^h)-1)/h} = 1
です。

よって(e^x)'=e^xが示されました。

結局
  e = lim[t→0]{(1+t)^(1/t)}
と決めたところにすべてのカラクリがあるようです。
お礼コメント
row5

お礼率 50% (5/10)

丁寧な回答ありがとうございます。これでまた勉強に取りかかれそうです。
投稿日時 - 2007-07-20 22:05:03
OKWAVE 20th Be MORE ありがとうをカタチに
  • 回答No.1

ネピアの定数とはeのことですか。
お礼コメント
row5

お礼率 50% (5/10)

はい。
投稿日時 - 2007-07-20 22:06:03
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