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「ネイピア数e」の定義を、「実数の連続性公理」に基づいて正確に述べよ。

「ネイピア数e」の定義を、「実数の連続性公理」に基づいて正確に述べよ。 また、等式lim(n→∞)(1+1/n)^n =Σ(上が∞、下がn=0)(1/n!)が成り立つことを示せ。

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回答No.1

証明の概略だけ。 まず,a(n)=(1+1/n)^nが増加列であることを示す. (1+1/n)^n =Σ_{k=0}^{n}C[n,k]n^{-k} =1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)(1-2/n)/3!+ …+(1-1/n)(1-2/n)…(1-(n-1)/n)/n!・・・(#) これより増加列であることが分かる。 次にa(n)が上に有界であることを示す。 上の式(#)より a(n) ≦1+1+1/2!+1/3!+…+1/n! ≦1+1+1/2+1/2^2+…1/2^{n-1} この和は有界である。 ここで実数の連続性の公理「上に有界な集合は、必ず上限を持つ」を使う。 この場合上に有界な集合は{a(n)}のこと。 そして、上限の性質とa(n)の単調増加性を用いる. lim_{n→∞}a(n)、b(n)=Σ_{k=0}{n}1/k!とすると、 a(n)≦b(n)よりa(∞)≦b(∞). (#)よりb(n)≦a(∞). よってb(n)≦a(∞)≦b(∞)yよりa(∞)=b(∞).

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