行列に対して定義された式は、実数でも当てはまるか？

質問

ある行列Xがあって、例えばXの指数関数をe^X=E+Σ【n=1→∞】{1/(n!)}*X^n の
ように定義すると問題に書いてあったら、それ以上のことは何も書いてなくても
、Xは行列のみならずふつうの実数を当てはめても成り立つと考えてよろしいでし
ょうか？文章が下手ですみません。つまり、例えばX=2nとして
e^（2n）=1+Σ【n=1→∞】{1/(n!)}*（2n）^n
というのも成り立つと考えていいか？ということです。
ある問題に対する解答で、このようなことをやっていたので、いいのかな？と疑
問に思いました。

回答No.1

proto · ベストアンサー

理論展開が逆です。

まず実数に関して定義された指数関数exp(x)が
　　exp(x) = 1 +Σ[n=1～∞]{(x^n)/(n!)}
と展開される事実を基に
行列に関する指数関数EXP(X)を
　　EXP(X) = E +Σ[n=1～∞]{(X^n)/(n!)}
と定義しました。

実際、exp(x)が上記のように展開されることは、exp(x)をマクローリン展開してみれば確かめられるでしょう。
また、指数関数の持つ性質
　　(exp(x))' = exp(x)
　　exp(x+y) = exp(x)*exp(y)
などを級数展開から確かめることも出来ます。

回答No.3

incd

問題中にe^Xをそのように定義するとされているのであれば、Xは実数でも構わないはずです（実数は1×1の行列なので）。

X=2nの例に関しては、#2の方の言うとおりΣで動かしているnとの混合があるので誤りです。正しくは、
e^（2n）=1+Σ【m=1→∞】{1/(m!)}*（2n）^m
というように与えられたnとΣで動かす変数を区別する必要があります。

回答No.2

arrysthmia

例えば、その e~X を定義するときに、
X が実数であってもオカシナことが起こらないように
定義しておく責任があります。
スカラーも、1行1列の行列ですからね。

質問中の e~(2n) は、
左辺の n と Σ の n がゴッチャになっているから
駄目です。

お礼

どうもありがとうございます。
参考になりました。