3x3行列のn乗と指数関数 固有値を使った公式

質問

まず、2x2行列Aの固有値をα、β（α≠β）とすると、
ケーリー・ハミルトンの公式より
A^2=(α+β)A-αβE
両辺にAをかけ、再帰的に整理していくと、

(β-α)A^n=(β^n-α^n)A+(β*α^n-α*β^n)E

という公式ができます。また、行列Aの指数関数
e^A=Σ[n=0 to ∞]A^n/n!
は、

(β-α)e^A=(e^β-e^α)A+(β*e^α-α*e^β)E

という公式があります。β→αとすれば、固有値が重解のときの公式もできます。

3x3行列のときの固有値を用いたn乗と指数関数の公式も知りたいのですが、参考サイトなどがあれば教えてください。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

まぁ、3×3行列の場合にも、ケーリー・ハミルトンの定理から同じようにやれば求まるのだと思いますが、大変そうな気がしますので、別の方法でやりますかね。
※具体的な形を求めたいとは思わないので、具体的な形が必要ならご自分で計算してください。

Aの固有値をα,β,γとします。(どの２つも互いに異なるとしておきます)
この時、ある正則行列Pを用いて、B=P^(-1)APが対角行列であるようにできます。対角成分にはα,β,γが並ぶのはいいですよね。

B^n=x_n B^2+y_n B+z_n E
が成り立つように,x_n,y_n,z_nを選びます。すなわち、連立方程式
α^n=x_n α^2+y_n α+ z_n
β^n=x_n β^2+y_n β+ z_n
γ^n=x_n β^2+y_n β+ z_n
の解を(x_n,y_n,z_n)とします。(α,β,γがどの２つも異なるとしているので、このようなx_n等は一意に決まります。具体的な形はご自分で求めてください。)

B^n=x_n B^2+y_n B+z_n E
の両辺に、左からP,右からP^(-1)をかけると、
A^n=x_n A^2+y_n A+z_n E
が得られます。

x_n,y_n,z_nの中にあるα^nの項をe^αと書き換えたものが、e^Aという事になります。

お礼

ありがとうございます。

行列のn乗と指数関数ですが、直交分解という考えからのアプローチがあるようです。

まだ、詳しくはしりませんが、勉強していきたいと思います。