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高2数学 図形と方程式について
問題でわからないところがあるので 教えてください。 問題→円x2乗+y2乗=25と 直線3x-4y+k=0が接するとき、 定数kの値を求めよ。 私は、 直線の方程式をy=の形に直してから代入法を 使って正解k=±25を導きました。 他に別の方法で 距離dを用いて答えを出す方法もあると知りました。 しかし そのようにすると 計算過程がわかりません・・・ どなたか 教えてください。
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>距離dを用いて答えを出す方法 直線:3x-4y+k=0 この直線が、原点(0,0)を中心、半径5の 円:x^2+y^2=5^2 に接する時は、円の中心(0,0)から直線までの距離dが円の半径5に等しい時であるから 原点と直線の距離の公式を適用して d=|k|/√{(3)^2+(-4)^2}=|k|/5=5 |k|=25 ∴k=±25 ←(答え) (注)接線は2本存在するからk=25とk=-25の2通りが存在します。 円と直線3x-4y=25と3x-4y=-25を描いてみると直線が2本とも円に接することが確認出来るでしょう。
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- HIROWI02
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塾講師をしているものです。 ~(別解)~ 円の中心は原点であり、原点と直線3x-4y+k=0の距離dは d=|k|/√{3^2+(-4)^2} 円と直線が接するのはr=d よって 5=k/5 ゆえに k=25 かなり簡単に書いたつもりです。
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- spring135
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円x2乗+y2乗=25と 直線3x-4y+k=0が接するとき 直線と円の中心との距離は円の半径に等しくなります。 直線ax+by+c=0と点(p,q)との距離dは公式(教科書に出ています)から d=|ap+bq+c|/√(a^2+b^2) 今の場合 a=3, b=-4, c=k, d=5, p=q=0 これより k=25 QED
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