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高校数学 図形と方程式の円と接線の問題

数学の問題です。 円(Xの2乗+Yの2乗=20)に接し、直線2x+Y=10に垂直な直線の方程式を求めよ。 わからないので教えてください。 過程を教えていただきたいのです。 補足教科書の問題なのですが最終的な答えだけは載ってます、 Y=1/2x+5  Y=1/2x-5

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  • 回答No.2

受験対策はされてありますので、ごくごく 亀さんな方法を。 与えられている直線、Y=-2X+10 (移行しただけです)に 垂直な直線 Y=aX+b を考えて見ます。 垂直な直線なのですから、「傾きの積」が -1 になればいいことは分かられますか? 例) Y=X に垂直な直線は Y=-X+any (anyはなんでもいいんです、実数なら)   グラフを書かれてみてください。 これによって、a=1/2 はすぐ出ますね♪ あとは、円に接するのですから、共通な点を持つはず。 X^2+Y^2=20 に Y=1/2 X +b を放り込んで、 これを整理して解けば、OKです。 ここで注意は、Xは重解を持たないといけませんよ。2点で接すると、円を貫通してしまいますね。 この時間に計算は辛いので確認してみてください。 m(_ _)m

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その他の回答 (2)

  • 回答No.3

方法は、いくつか考えられる。 微分を使う手もあるが、それは考えないとして。 いずれにしても、2x+y=10に垂直な直線は、y=x/2+a で表される事に気がつかなければ話にならない。 (解法-1) 直線:y=x/2+a ‥‥(1) と円:x^2+y^2=(√10)^2 ‥‥(2) が接するから、yを消去したxの2次方程式が重解を持つ → 判別式=0 (解法-2) 直線:y=x/2+a ‥‥(1) と円:x^2+y^2=(√10)^2 ‥‥(2) が接するから、点と直線との距離の公式を使うと、円の中心である原点から直線(1)との距離が、円の半径の√10に等しい。 どちらにしても、a=±5 になる。自分で計算して確認してみて。

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  • 回答No.1

こんな公式走っていますか。 x^2+y^2=r^2 上の点(p,q)における接線は px+qy=r^2    (1) 受験には必須のこうしきです。必ず使いこなしてください。 楕円や放物線、双曲線でも同様に成り立ちます。 詳しくは参考書を調べてください。 問題の場合、(1)は px+qy=20     (2) これが直線 2x+y=10 (3) に直交するには傾きの積が-1です。 つまり (-p/q)・(-2)=-1 これから q=-2p      (4) 当然 p^2+q^2=20 (5) (4),(5)より p=2, q=-4 p=-2,q=4 これを(2)に代入すれば答えが得られます。

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