この式は積分できるでしょうか

質問

定積分
∫[0～n]（sqrt(x)/exp(x))dx
は計算可能でしょうか？

回答No.1

keyguy · ベストアンサー

∫[x:0～n]・dx・√(x)・exp(-x)=
∫[x:0～√(n)]・dx・exp(-x^2)-√(n)・exp(-n)

お礼

この式がこのように変形できることがわかって、面白く思っています。
ご回答ありがとうございました。
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∫[x:0～√(n)]exp(-x^2)dx
で、n--->∞　のとき、この積分はどんな値に収束するかご存知でしたら教えてください。

補足

Ｎｏ．１の回答について、
高校生や一般の読者のために補足致します。

sqrt(x)は√(x)のことで
∫[0～n]（sqrt(x)/exp(x))dx
は、（　）の関数を　X=0からX=nまで定積分したものです。
keyguyさんは、定積分の範囲を[x:0～n]と書き、0～nの値がxの値であることを明示しておられます。

さて、この定積分は置換積分法により積分します。
√(x)＝ｔと置き、ｘ＝ｔ＾２---(1)
両辺を微分して、（１／２√(x)）ｄｘ＝ｄｔ
したがって、ｄｘ＝２√(x)ｄｔ＝２ｔｄｔ---(２)
ｔ＝√(x)は、単調増加関数で、ｘの値が０からｎまで変わるとき、ｔの値は０から√(n)まで変わる。
以上から、
∫[0～n]（√(x)/exp(x))dx
＝∫[0～√(n)]（ｔ/exp(ｔ＾２))・２ｔｄｔ
＝∫[0～√(n)]（－２ｔ/exp(ｔ＾２)）・（－ｔ）ｄｔ
---（３）
この最後の式で、マイナスが出てきているのは、次にやろうとしている部分積分法による積分のためです。
（－２ｔ/exp(ｔ＾２)）は、次に書くように、１/exp(ｔ＾２)を微分するとできる式です。

１/exp(ｔ＾２) を微分するのは、「合成関数の微分」というやり方で微分します。
1/x を微分すると -1/x^2になりますが、
１/exp(ｔ＾２) を微分すると、-1/(exp(t^2))^2という式ができます。ところが、それで終わりではなく、さらにexp(ｔ＾２)を微分した式を掛けなければいけないのです。exp(ｔ)
なら、微分しても変わらず、exp(ｔ)ですね。exp(t^2)を微分すると、exp(t^2)という式ができますが、これで終わりではなく、さらにt^2を微分した式を掛けなければいけない。ですから、１/exp(ｔ＾２) を微分すると、
（ｄ／ｄｔ）（１/exp(ｔ＾２)）
＝-1/(exp(t^2))^2 *exp(t^2) *(2t)
＝- 2t/ (exp(t^2))
となります。（ｄ／ｄｔ）はｔをｘのように思って、微分するという意味の記号です。簡単に’と書きます。

- 2t/ (exp(t^2))＝（１/exp(ｔ＾２)）’
がわかったところで、（３）に戻りましょう。
部分積分法の公式
∫(u)'(v) =(u)(v) -∫(u)(v)'
に
(u)'＝- 2t/ (exp(t^2)),(v) = -t
とあてはめるのです。
u = １/exp(t^2) に注意して、
∫（－2ｔ/exp(t^2)）・(-t)ｄｔ
=∫(u)'(v)ｄｔ
=(u)(v) -∫(u)(v)'ｄｔ
=１/exp(t^2)*(-t) - ∫(１/exp(t^2))(-1) dt
=-t/exp(t^2)+∫(1/exp(t^2)) dt
あとは、[0～n]のところだけです。
-t/exp(t^2)は、t=0 のとき0,　t=√(n)　のとき、-√(n)/exp(ｎ)=-√(n)・exp(-n) になります。

以上から、
∫[x:0～n]（√(x)/exp(x))dx
＝-√(n)/exp(ｎ)+∫[ｔ:0～√(n)](1/exp(t^2)) dt
＝-√(n)・exp(-n)+∫[t:0～√(n)](exp(-t^2)) dt
＝∫[x:0～√(n)](exp(-x^2)) dx　－√(n)・exp(-n)

回答No.2

keyguy

この積分はどんな値に収束するかご存知でしたら教えてください。：

この分野の過去の質問を「ガウス積分」というキーワードで検索してみてください

お礼

ありがとうございました。よくわかりました。
ガウス積分という言葉は、はじめて知りました。
この積分は、スターリングの公式の周辺を自分で研究していて出てきたものです。