ガウス積分？？

質問

∫[-∞→∞](x^n)*exp(-α*(x^2))dx (n、αは定数)
の計算の仕方が分からず困っています。
どなたか出来る方、どうかよろしくお願いします！

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度に
αx^2=t と置いて変形し、更に　z=(n+1)/2　とでも
すれば、(1/2)(1/α)^z*Γ(z)　のように、
｛ここで、∫[0→∞](t)^(z-1)*exp(-t)dt=Γ(z)　｝
の形式に持ち込めるでしょうね。

お礼

αx^2=tとおけば積分範囲も[-∞→∞]から[0→∞]と
なりますね！
積分範囲が違うのでΓ関数は使えないと勝手に思い込んでました^^;どうもありがとうございましたm(__)m

回答No.2

siegmund

n は自然数，α は正の定数ですよね．

n が奇数のときは x^2 = t とおけば不定積分が計算できます．

n が偶数のときは
∫[-∞→∞] exp(-α*(x^2))dx = √(π/α)
の両辺をαについて何度か微分すればＯＫ．
m 回微分すれば
∫[-∞→∞] x^(2m) exp(-α*(x^2))dx
が求まることになります．

お礼

おおっ！こんなシンプルな解き方もできるんですね！！
勉強になります！ありがとうございました☆