ベクトルの和や差の成分表示

質問

ベクトルの成分表示を説明する際に座標平面を設けるじゃないですか？

教科書や本を読むとこの時原点Oから2つのベクトル（→aと→bとします）が飛び出ていて、→bを→aの先端に平行移動して、原点Oから平行移動した→bの先端に向かう矢印を→a+→bという和の形で表しています。

Oから飛び出ている矢印はベクトルじゃなくて始点を持つ有向線分だと思うんですが、教科書には矢印の横に→aや→bと書いているので有向線分ではないようです。
なぜベクトルって言えるんですかね？？

私は有向線分かベクトルかを「始点が、ある定まった点かどうか」という基準で決めています。
定まっていれば有向線分でそうでなければベクトルです。
そう考えると座標上の原点Oは定まった点なので……。

それともベクトルは位置の違いを無視するので有向線分上にぴったり重なっていても問題は無いっていう理屈なんでしょうか？？

重箱の隅をつつく感じになって申し訳ないです。。。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

添付の図で言えば、
始点 O とベクトル a から有向線分 OA が決まり、
始点 A とベクトル b から有向線分 AC が決まり、
有向線分 OC から始点 O を捨象して ベクトル a+b が決まる
という話の順番です。

補足のリンク先の図２は、
その様にして定義した a+b と b+a が等しいことを、
平行四辺形を使って示しているのです。

お礼

有向線分という概念にとらわれ過ぎていた気がします。
わかりやすい図で参考になりました。
ありがとうございました<(_ _)>

回答No.5

MagicianKuma

>それともベクトルは位置の違いを無視するので有向線分上にぴったり重なっていても問題は無いっていう理屈なんでしょうか？？
そういう理屈です。そもそもベクトルを図示した瞬間、意図せずとも始点があります。（紙の上のどこかに描く訳ですから）それを別の誰かが見て有向線分が図示されているのだなと思っても仕方ないですね。なので、図示した線の横にa→とか示します。すると「あぁこれはベクトルを表しているのね」となり。始点は考えないわけです。そして、それ(矢印を持った線）を平行移動したものは全て同じベクトルを表しているのです。

お礼

ベクトルを図示する→その横にベクトルを表す目印がある→位置を考えないのでそこに固定されているわけではないってことですね。
参考になりました。
ありがとうございました<(_ _)>

回答No.3

alice_44

有向線分は、ii) 位置(始点 or 終点)，向き，大きさ を与えれば定まるんですよね？
その中で「向き，大きさ」の部分が、ベクトルですね。
つまり、有向線分は、始点とベクトルを与えれば定まって、その結果、終点も定まる と。
図に、原点を始点とする有向線分が書いてあって、横にベクトルの名前が沿えてあったら、
原点とベクトルで有向線分を定めた って意味ですよ。

お礼

http://www.snap-tck.com/room04/c01/matrix/matrix04.html

原点とベクトルで有向線分が定まるとしたら、このページの1枚目の画像で考えると、x+yというベクトルは有向線分yとベクトルxの和で表されていることになりませんか？
しかし有向線分の加法や減法は教科書を読むと定義されていないのです。。。

補足

すみません、お礼のURLをこっちに変えます。
（CHALLENGE from the VOIDというwebサイトの画像です）

http://www.riruraru.com/cfv21/math/component.files/Gcomponent1.GIF

原点とベクトルで有向線分が定まるとしたら、このページの図２で考えると、a+bというベクトルは有向線分aとベクトルbの和で表されていることになりませんか？

回答No.2

B-juggler

はいはい、了解了解＾＾；

えっと、一週回って難しく書いてあるね＾＾；

「有向線分」のことをベクトルと考えてかまいませんよヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

かえって難しく書いてあるだけですよ＞＜

ベクトルって言うのは、スカラーと違って、二つの要素を持ちますね？
それは、方向と長さです。

では、「有向線分」は？　と考えると、始点と終点が決まっているだけ。
これを言い換えると、方向と長さがあります。違いは、始点が決まっているってこと。

補足に挙げてくれてある、ページにも下のほうにあるけれど、

ＡＡ’＝ＢＢ’＝ＣＣ’　って言うのがありますね？

Ａ（点）からＡ’への有向線分　は　Ｂ（点）からＢ’点への有向線分　と、

長さも方向も等しいので、ベクトルとして、等しい。

「有向線分」という概念を使う必要はありません。
始点が決まっているベクトルでしかないから、一般的でないと思っていいです。

このページよろしくない。難しくしているだけ。

ベクトルで全部考えて構いません！　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

だから、前回挙げた例も、全てベクトルで捉えてください。
何も問題ないはずだよ？

「有向線分」は忘れていいです。ベクトルのほうが汎用性が高いです。

後々問題が出そうです。線形独立（平行ではないってことだけど）や、
線形従属（平行、長さは違うかもしれない）とか、
そういうことを考えるときに、かえって邪魔になるよ。

ベクトルの説明に「有向線分」っていうなんか変なのが使われた！と、
思って忘れて構いません。

使わないものですから、必要ないよ～　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

大事なのは、あくまでベクトル！！

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

難しく考えすぎていたのでしょうか。。。
確かに問題が無いのならそう考えたほうがいいかもしれないですね。
紛らわしい質問に二度も答えてくださり感謝しています、ありがとうございました <(_ _)>

回答No.1

B-juggler

こういうことなのかな？

例）　ベクトルＡ　（大文字で書いたときはベクトルだと思ってください）

Ａ＝（１，０）　つまり、原点から　ｘ軸方向に１だけ進んで　長さ（ノルム）１のベクトル。

Ｂ＝（０，１）　おなじく、ｙ軸方向に１だけ進んだ　ノルム１のベクトル。

こうしたときに　Ａ＋Ｂ＝（１，１）　こうなるよ？　って言うのが疑問かな？
　＃ノルムは　√（１＾２＋１＾２）＝√（２）

平行移動したベクトルは等しい　って言うのを利用しているだけ。

つまりね、原点から（０，１）に行くベクトルと（Ｂね）、

座標（０，－１）から原点に行くベクトル　は　（Ｂ’としておこう）等しい。

なぜか？

Ｂ　の説明は上に書いてます。

Ｂ’は　（０，－１）から（０，０）に行くベクトルですね？

ｘ座標は変わらず、ｙ座標は＋１だけ増えている。

これ方向一緒かどうか確認してね？

そして大きさ（ノルム）は　１　ですね？　これも確認して？

つまり、Ｂ’はＢの始点を　ｙ軸方向にのみ　－１　動かしたものでしかない。

方向は等しく、長さが同じものなら、ベクトルは等しいね？

Ｂ＝Ｂ’はいえると。これはベクトルの定義だからね。

よく確認して、分からなかったらまた聞いてください。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

質問が分かりにくくて本当にすみません（泣）

B-jugglerさんの文中の言葉を借りていいますと、
原点からベクトルが伸びていると言いますが、原点から矢印が伸びていたらそれは有向線分なのではないでしょうか？

http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=6603
このページには、

一般に有向線分は次のいずれかの条件を与えれば定まるといえる．
i) 始点，終点
ii) 位置（始点or 終点），向き，大きさ

と書かれています。

座標上の原点は「始点」（位置）の情報ですよね？
そこから伸びる矢印は「向き」と「長さ」の情報ですよね？
3つの情報があるのでこの矢印は有向線分ということになるのではないのですか？

正直私はベクトルだと考えたいです。
ですがそう断ずるに値する理由がひねり出せないのです……。