今年度早々ベクトルに殺されそうです（笑）

質問

ベクトルに関する基本的なことなんですけど、ご教授ください。

ベクトルの和という考え方を習ったのですが、
ベクトルａ　+　ベクトルｂ　＝　ベクトルｃ　ってやつです。
なぜそうなるのか、ということは、平行四辺形の原理というもので
説明されていたのですが、コレがいまいちよく分かりません。

異なるベクトルどうしを合成したら、平行四辺形の
対角線になるんだよ、ということは、感覚的には理解することが
できますが（幾何学的に考えて、合成するとこうなるだろうな・・というのが感覚的にある）、実際にそうである、ということを証明することはできるのでしょうか。
任意点Ｏにベクトルａとベクトルｂの和が、ベクトルａの始点からベクトルｂの終点へ伸びる有向線分と等しくなるのはなぜでしょうか。
恐らく、ベクトルという概念を当方がまだよく理解していない、
もしくは無意識的に、力、変位などの物理的な考え方をしてしまって
いる為、このような疑問を抱いてしまうのだと思うのですが、
その点も含めてご教授お願いします。

回答No.3

geb03703 · ベストアンサー

難しく考えすぎちゃってるみたいですねぇ。
次のように簡単に説明出来ますよ。

ベクトルａの終点にベクトルｂの始点を重ねてみます。
点Ｏから矢印をたどっていくと目的地に着くように見えませんか？
近道をするとこれがベクトルｃ。
ベクトルの足し算は終了です。

このとき大切なのはベクトルｂを平行移動させることです。
向きは変えないでね。

ベクトルは「向き」と「大きさ」しか持たない概念なので、
スタート地点(始点)はどこに動かしちゃっても問題ないんです。

ベクトルの足し引き算は、個人的には「道順」に似てる気がします。
ベクトルａが「北に１ｍ進め」で、
ベクトルｂが「東に１ｍ進め」なら、
両者を足すと「北東に√２ｍ進め」と同じになるように。

回答No.5

gyrocompas

よもやま話
ベクトルとは、本来は足し算ができないような二つの量に対して、強引に
足し算のやり方を決めてしまおうという発想です。
例えば、将棋の強さと、数学の問題を解く能力は異質なものです。
将棋については、段位があり、数学については検定試験なんかもあって
それぞれの中では、優劣を決めることができます。
そんじゃ、人間の頭のよさを、この二つを使って客観的に評価するには
どうすればよかか？？
と、いったところからベクトルが導入されます。
それぞれの世界での、強さを実数に置き換え、
将棋の強さを１２、数学の強さを１５、とすれば
数字の組み（１２，１５）で表します
これじゃ、わかんねべ、という人が当然いるので
直感的に理解できるように図示します
Ｘ軸に将棋の強さ、Ｙ軸に数学の強さをとり
図式すれば、その人の能力の特徴が、一発でわかります。

ベクトルが同じ方向を向いていれば、単純に足し算もでき
俺とお前は、同じ生活をしているんだなということも
わかって便利です

以上、平行四辺形の話とは、遠かったですが
ヨタ話でした

回答No.4

aidlii

ベクトルは運搬といった意味のラテン語から作られた言葉だそうですから、運び方といったイメージでとらえればいいだろうと思います。つまり、矢印の向きで、運ぶ方向を示し、矢印の長さで運ぶ距離を表すと考えるわけです。
　ですから、geb03703さんのおっしゃる道順というイメージと近いのですが、ベクトルa＋ベクトルｂとは、aの表す運び方で運んだ後、ｂの表す運び方で運ぶと、結局、どういう方向に、どれだけ運んだことになるかというイメージでいいだろうと思います。
　ですからgeb03703さんと似たような例になりますが、例えばベクトルaが東へ１キロ運ぶ運び方、ベクトルｂが南へ１キロ運ぶ運び方だとします。これを足すと、まず東へ１キロ運んでから、南へ１キロ運ぶ。つまり１キロ、１キロを２辺とする直角二等辺三角形が出来まして、結局、東南へルート２キロ運ぶことになる。こんな理解でいいのではないかと思います。
　結果は、平行四辺形と同じになりますが、ベクトルの場合、ベクトルa＋ベクトルｂは、aの終点にｂの始点を重ねて出来る三角形で考えるべきだろうと思います。
　図がないと分かりにくいでしょうけど、お分かりいただけますでしょうか。
　ベクトルは、苦手な人の多い分野です。決してやさしくはありません。分からないことがあっても、自分の数学的能力が低いなどとは考えないで下さい。分かった人も、どこかで苦労して分かったのです。頑張って下さい。

回答No.2

arrysthmia

教科書の書き方も悪いのでしょうが、ちょっと誤解があるようです。
「平行四辺形の原理」は、ベクトルの和がなぜ平行四辺形の対角線に
なるのかを説明するものではありません。

まず、平面上の有向線分を、平行移動で重なれば同じものと見なした
ナニか（漂う矢印って感じ？）を「平面ベクトル」と呼ぶことにします。
この時点では、平面ベクトルと平面ベクトルを足し算しろ！と言われても、
どうしたらいいのか、誰にもわかりません。

そこで、足し算をする前に、平面ベクトルの和って何だ？ということを
あらかじめ決めておく必要があります。この「決めておく」ことを、
数学では「定義する」と呼びます。

二つの有向線分を平行移動して始点を一致させたときに、
共通の始点と二つの終点を三頂点とするような平行四辺形の
第四の頂点を終点とする有向線分を、二つの平面ベクトルの和と
「決めます」。これが、平面ベクトルどうしの足し算の「定義」です。

「感覚的には理解することができ」ることが、かえって問題なのかも
しれません。数学の道具は、作って使うもの。その性質は、約束して
決めるのです。物理の道具のように、発見して性質を調べるものでは
ありません。

補足

なるほど。　１+１＝２を定義するようなものですね。
ところで、ベクトルという概念は物理から生まれたと
聞いていますが、物理のベクトルの性質から「和」の
定義が生まれたのでしょうか。

回答No.1

koko_u_

>実際にそうである、ということを証明することはできるのでしょうか。
定義なので基本的に証明することはできません。
「そういうもの」がベクトルだと思っておいて下さい。

もちろん、抽象的なベクトル空間の定義はあるので「ユークリッド空間 R^n にどのようなベクトル空間の構造が設定可能か？」という問いは可能ですが、高校の範囲を超えています。

お礼

定義なんですか。なるほどー。
たしかに、和を定義しないと計算ができないですね。