Σ記号で条件が複雑な時の和の取り方

質問

Σ記号で、添字　ｊ　が１からｎまで走るときの和の取り方とかは簡単なのですが、n≧n_1≧n_2≧1をみたす整数をn_1、n_2がとるとき、n_1*n_2の和はどのように考えたらいいでしょうか。
mが具体的な場合は書き下せばいいのですが、一般になるとよく分かりません・・・。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

まず、訂正から。
A No.2 は、Σ する範囲に勘違いがあって、
n≧n1＞n2≧1 の和を求めてしまっている。
最初の式の右辺を、
S + Σ[n1=1→n](n1)(n1) + S から
S - Σ[n1=1→n](n1)(n1) + S に修正
してください。すみません。

補足質問の点については、同じ考え方が
一応使えます。
質問では、変数が 2 個だったので、
最初の式の右辺に S が 2! 個現れましたが、
変数が m 個なら、n≧n1≧n2≧…≧n[m]≧1 の
n1, n2, …, n[m] を並べ替える m! 通りの分、
m! 個の S が右辺に現れます。
ただし、m が大きいと、境界部分の重なり具合
が複雑になって、その処理が面倒ではあります。

例えば、m=3 の場合、
S = Σ[n≧n1≧n2≧n3≧1](n1)(n2)(n3)
と置いて、
Σ[n≧n1≧1,n≧n2≧1,n≧n3≧1](n1)(n2)(n3)
= (3!)S - (3C2)Σ[n≧n1≧1,n≧n2≧1](n1)(n1)(n2) + (3C1)Σ[n≧n1≧1](n1)(n1)(n1)
重複部分を足したり引いたりして調整する作業は、
集合の重なり部分の要素数を求める計算と、ちょっと似ています。
(同じではないですが。) 参考→ http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=6098
後は、
Σ[n≧n1≧1,n≧n2≧1,n≧n3≧1](n1)(n2)(n3) = {Σ[n≧n1≧1](n1)}^3,
Σ[n≧n1≧1,n≧n2≧1](n1)(n1)(n2) = {Σ[n≧n1≧1](n1)^2}{Σ[n≧n2≧1](n2)}
と、
Σk. Σk^2, Σk^3 などの基本公式で処理できます。

回答No.2

alice_44

n≧n1≧1, n≧n2≧1 の範囲を、
n1≧n2 と n1=n2 と n1≦n2 に分割し、
それぞれにおける Σ(n1)(n2) を考えます。
すると、求めたい和を S として、
Σ[n1=1→n]Σ[n2=1→n](n1)(n2) = S + Σ[n1=1→n](n1)(n1) + S
であることが判ります。
左辺 =｛Σ[n1=1→n]n1｝｛Σ[n2=1→n]n2｝=｛Σ[n1=1→n]n1｝の2乗
であり、
Σ[n1=1→n]n1 = n(n+1)/2
と
Σ[n1=1→n](n1)(n1) = n(n+1)(2n+1)/6
は基本公式ですから、
S の値が判りますね。

お礼

いつもわかりやすい解説ありがとうございます。

いま、変数が２つだったのですが、３つ、４つ、と増えていって、
∑[n≧n_1≧n_2≧・・・ ≧n_m≧1]　n_1*n_2*・・・n_m
とかなっていくと、どのように考えたらいいと思われますか。

回答No.1

info22_

Σ[n_2=1,n]Σ[n_1=n_2,n] n_1*n_2
または
Σ[n_1=1,n]Σ[n_2=0,n_1] n_1*n_2
のどちらでも良いでしょう。