＜至急＞教えて下さい。 導関数

質問

1/2√(1+x) (分子が１で、分母が2×ルート（1+x））を微分したら、なぜ、
-1/4(√(1+x)）＾３（分子が-1で、分母が4×（ルート（1+x））＾3）になるのか
理解できません。　どなたか教えていただけないでしょうか？
宜しくお願い致します。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

y = (1 + x)^n を微分すると
y' = n・(1 + x)^(n-1) であるから、

y = 1 / {2√(1 + x)} = {(1 + x)^(-1/2)} / 2
を微分すると、
y' = (-1/2)・{(1 + x)^(-3/2)} / 2
= -(1 + x)^(-3/2) / 4
= -1 / 4[√{(1 + x)^3}]

お礼

早速にご教授いただき、どうも有難うございました。
理解できました。助かりました。
他の方もご親切に有難うございました。
一番、速かったので、ベストアンサーにさせて
頂きました。
本当に、有難うございましたm(_ _)m

回答No.3

tentolan

ax^n を微分すると nax^(n-1) となります

こんばんは、

f(x)の微分は d を 0 に限りなく近づけた時、
下記のように表せます。
lim{ f(x+d) - f(x) } / d,d->0

f(x)=x^2 を考えた場合上記は、
(x+d)^2 = x^2 + 2xd + d^2
故に、

f'(x)
=lim(x^2 + 2xd + d^2 - x^2)/d, d->0
=lim(2xd + d^2)/d, d->0
=lim(2x + d), d->0
=2x

これを一般化すると、

f(x)=ax^n, f'(x)=nax^(n-1)

と、なります。

よって、
f(x)=a(1+x)^n
a=1/2
n=-1/2

の場合は、

f'(x)
=-1/2 * 1/2 * (1+x)^(-1/2 -1)
=-1/4 * (1+x)^(-1/2 - 2/2)
=-1/4 * (1+x)^(-3/2)

となります。

一般化のところは、ご自身でも考えてみてください。

(x+d)^n - x^n なので、xのn乗は無くなってしまいます。

そして、dで割りますので、(n-1)乗のdが消えます。

さらに、dを0にしちゃいますから、残った項でdを含む項はいなくなります。

頑張ってください！

お礼

早速にご教授いただき、どうも有難うございました。

ご丁寧なご説明に感謝いたします。
よく理解できました。助かりました。

本当に、有難うございましたm(_ _)m

回答No.2

yyssaa

＞1/2√(1+x)=(1/2)*(1+x)^(-1/2)だからxで微分すると
(1/2)*(-1/2)*(1+x)^(-3/2)=(-1/4)*{(1+x)^(1/2)}^(-3)
=(-1/4)*{√(1+x)}^(-3)=-1/[4*{√(1+x)}^3]

お礼

早速にご教授いただき、どうも有難うございました。

ご丁寧なご説明に感謝いたします。
よく理解できました。助かりました。

本当に、有難うございましたm(_ _)m