積分の計算

質問

1/(x+sqrt(x+2))のやり方がわかりません。分母を有利化しようとすると分子にルートが出てきてしまいます。計算方法を教えていただけると助かります。

回答No.1

think2nd · ベストアンサー

ご自身にとって、有利化しようとしても、不利でしょう。
計算方法の一つを紹介します。2ステップかかります。
√(x+2)=tとおいて2乗すればx=t^2-2 が,また　xで微分するとdt/dx=1/(2√(x+2))…(1)
が得られます。
よって　与式は[2√(x+2)/(t^2+t-2)]dt=[2t/(t+2)(t-1)]dt
と変形できますから第2ステップに入ります。部分分数に分解する手法を使って。(dtも見やすいように割愛します。)
　2t/(t+2)(t-1)=2/(3(t+2))+1/(3(t-1))となりますから、これを不定積分してxにもどして(積分定数がCです。)
(4/3)×log(√(x+2)+2)+(2/3)×log(√(x+2)-1)+C
　でしょうか。3ステップはもっと見やすい形にすることでしょうか。

お礼

皆さん丁寧に解説ありがとうございました。おかげで解くことができました。

回答No.3

info22_

No.2です。

ANo.2の最後の式

>I=(1/3)ln((|x+1|)(x-2)^2)-(2/3){√(x+2)+ln(|(√(x+2)-2)/(√(x+2)+2)|)}
+(1/3){2√(x+2)+ln(|(√(x+2)-1)/(√(x+2)+1)|)+C

を更に整理すると

I=(1/3)ln((|x+1|)(x-2)^2)-(2/3){ln(|(√(x+2)-2)/(√(x+2)+2)|)}
+(1/3){ln(|(√(x+2)-1)/(√(x+2)+1)|) + C

回答No.2

info22_

I=∫1/(x+√(x+2))dx
分母の有理化
I=∫(x-√(x+2))/(x^2-x-2) dx
=∫(x-√(x+2))/((x-2)(x+1)) dx
=(1/3)∫2/(x-2)+1/(x+1) dx-(1/3)∫(1/(x-2)-1/(x+1))√(x+2)dx
=(1/3)(2ln(|x-2|)+ln(|x+1|))-(1/3)∫√(x+2)/(x-2)dx+(1/3)∫√(x+2)/(x+1)dx
=(1/3)ln((|x+1|)(x-2)^2)+I1+I2

√(x+2)=tとおくと (x+2)=t^2, dx=2tdt
I1=-(1/3)∫√(x+2)/(x-2)dx
=-(2/3)∫t^2/(t^2-4)dt=-(2/3)∫{1+1/(t-2)-1/(t+2)}dt
=-(2/3)(t+ln(|(t-2)/(t+2)|))+C1
=-(2/3){√(x+2)+ln(|(√(x+2)-2)/(√(x+2)+2)|)}+C1
I2=(1/3)∫√(x+2)/(x+1)dx
=(2/3)∫t^2/(t^2-1)dt
=(1/3)∫{2+1/(t-1)-1/(t+1)}dt
=(1/3){2t+ln(|(t-1)/(t+1)|)}+C2
=(1/3){2√(x+2)+ln(|(√(x+2)-1)/(√(x+2)+1)|)+C2

I=(1/3)ln((|x+1|)(x-2)^2)-(2/3){√(x+2)+ln(|(√(x+2)-2)/(√(x+2)+2)|)}
+(1/3){2√(x+2)+ln(|(√(x+2)-1)/(√(x+2)+1)|)+C