微分不可能？

質問

グラフの端
たとえばy = x^2(0≦x≦4)でx = 0, x = 4のときは微分不可能といってよいでしょうか？

回答No.1

hitomura · ベストアンサー

問題としている空間によります。
微分可能性は問題としている関数だけで成立するのではなく、その関数の属している空間にも関連して成立するものだからです。

たとえば、xのとりうる範囲が0≦x≦4より大きく、0≦x≦4以外の点でyの値が決定されていなければ、x = 0, x = 4のときは微分不可能です。

しかし、0≦x≦4の範囲内に限ってのyの微分可能性は「すべての点で微分可能」ということになります。
「でもx＜0の部分が定義されていないんだからそっちのほうから近づいたら値なしになるじゃないか、どんな近づき方をしても例の式が収束するのが微分の定義じゃないのか？」と思われるかもしれませんが、この場合問題としている範囲は0≦x≦4であるためx＜0などという所はなく、x=0にどのような近づき方をしても値の定義されている側から近づくことになります。

お礼

どうもありがとうございます。
理解できたとおもいます。

回答No.2

waseda2003

杓子定規にとらえると微分不可能ということになるかも知れませんが，それなら閉区間で考えるのはおかしいと思いませんでしたか？
微分可能は極限で定義されているので，原則的には開区間で考えるべきものですから，「０≦ｘ≦４における微分可能性」という場合は，何らかの省略と考えるのがふつうだと思います。
次の２つの場合が考えられます。

（１）０≦ｘ≦４を含む開区間で微分可能。
高校ではこの場合でとらえることが多いですね。
この場合，x=0，x=4で微分可能です。

（２）端点では片側微分（x=0では右側微分，x=4では左側微分）だけ考える。
区分的連続な関数を扱うとき，不連続点における措置としてよく用いられますね。
x=0で右微分可能，x=4で左微分可能です。

現実問題としては，微分可能な関数を閉区間で切って微分不可能と言っても，空しいような気がします。

お礼

回答ありがとうございます。

＞微分可能な関数を閉区間で切って微分不可能と言っても，空しい

そうですね。そのとおりだとおもいます。