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follandの本の意味がわかりません

the function x→|x|のa乗 is integralable on aneighborhood of 0 if and only if a>-n,andit is integralable outside a neighborhood of 0if and only a<-n のいっている意味がわかりません。特にオンとアウトサイドの違いが分かりません。ちなみに文献はfollandのintrodution to partial differential equationsです。7ぺーじのprop5です。xはn次元です

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  • 回答No.1

文字通りに解釈するならn次元ベクトルをそのノルムのa乗に対応させる関数がどの領域で可積分か書いてあるだけです. 原点の近傍で可積分 ⇔ a > -n 原点の近傍の補集合で可積分 ⇔ a < -n 文脈や偏微分方程式についてはサッパリなので,勘違いがあるかもしれませんが,たぶん合っているでしょう.たとえば1次元ユークリッド空間上の関数 f(x) = |x|^a と原点のε-近傍でイメージすれば常識的な主張でしょう.

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