数学問題の解答をお願いします

質問

下記の問題の解答をお教えください。

●4tの２乗＋5t-9＝0

（4t+9）(t-1)=0

になる過程が恥ずかしながらわかりません。

お忙しいところ恐れ入りますが解答をお教えください。

宜しくお願い致します。

回答No.5

Micanakasima · ベストアンサー

お困りのようですね。

まずここでは2乗を「^2」と表記します。（情報数学上の慣習です。）
よって、あなたの提起した問題は
4t^2+5t-9=0となりますね。

この式の因数分解の方法として旧式ではありますが、たすき掛けという方法があります。
まず第1項の4t^2を掛け算を仮説します。
すると
4t*1t・・・（ア）
となりますね。（ちなみに*の表記は×や・と同じ乗算の意味です。また明記するためにtを1tとています。）

次に第3項の‐9を掛け算を仮説します。
すると、
9*(-1)・・・（イ）
となりますね。

次に（ア）と（イ）をそれぞれたすき掛け（第1項と第2項・第2項と第１項）し、乗算します。
4t*(-1)=-4t
1t*9=9t
そして、それぞれの答えを足し算してもとの式の第2項となれば、・・・（ウ）
上記の（ア）（イ）の第1項・第2項通しを足し算して

（4t+9)(t-1)=0
と表記できるのです。

もし、（ウ）の時点で第2項にならなけば、
（ア）（イ）のそれぞれ別の掛け算を仮説しなおして、第2項になるような組み合わせを見つけるというのが
たすき掛けという概念です。

以上図で表せられればとても簡単なのですが
便宜上複雑になってしまいました。

参考になれば幸いです。

お礼

この度はご丁寧にありがとうございました。
数学を完全に忘れてしまっていましたが、わかりやすい説明をしてくださったお陰で無事理解することができました。

感謝しております。

お世話になりありがとうございました。

回答No.6

noname#208901

したの方の回答のとおり、

解の公式を使ってダイレクトに求める方法もありますが、

他の方法もあります。

(1)１　　　(3)ー１

(2)４　　　(4)９

こういう配置で要素を並べます。
これは,ax^2+bx+cという式が、
結局 (x-i)(x-k)文字は適当に選んでます。
という形に因数分解できるときに使えます。

解の公式を使いますと、

x＝ー５±√２５－４・４・（ー９）/8

これをとくと、１、ー９/４
となります。

ですから、あなたの計算だとすると、
（x＋１）（xー９/４)となり、
なぜ（４x＋９）（x－１）＝０となるのかがわからない。
ということになるのですね。

右の式が０ですから、両辺に４をかけて分母を取り除いて
やりましょう。
すると、（x＋１）・（x－９/4)・４　＝　０・４
ということになりますね？
すると（x＋１）・（４xー９）＝０と
晴れてなります。

分母のままだと見た目がわるいのでこうして整えているわけです。
こういう式を美しいと思えるようになると、少し何か違うそうですw。

（x＋１）は影響を受けないの？という疑問がくるかもしれません。

少し考えてみればわかるように、（x＋１）と、（x－９/4）は、
独立の数字が２つ掛け合わされているのと同じ意味です。

従って、x＋１＝K
xー９/4　＝L　と、別の文字で仮に置き換えてみましょう。

すると、

K×Lとなり、これに４をかけます。

K×L×４です。４KLです。LとKどちらに４がかかってても、４KLであることに
変わりはないと言えるでしょう。

掛け算の普通の性質です。

なので、（４x＋４）（x－９/4）これももちろん正解です。

xがtになってませんがお許しくださいませ。

ほかに、後でいちいち４をかけずにすむたすき掛けという方法
があります。

解の公式は正確に計算ができる反面、式が複雑で時間がたつと
忘れやすい。というデメリットがあります。

そうした時に覚えておくべき別のやり方があります。たすき掛けという
方法です。

これは（a+b)(c+d)を展開したときに、
ac+ad+bc+bdとなるかけ方。の特徴に着目した方法です。

４x^2＋５xー９をよくご覧になってください。

(x-1)(4x+9)も、x－１のxの係数（見えない１）と、４xが
かけられて、４x＾２として計算されます。

次に、xー１のxの係数（見えない１）と、９がかけられて、
９xが出てきます。

次に、x－１の、ー１の部分と、４x＋９の４xの部分がかけられて
ー４xがでてきます。
あとはー１と＋９がかけられて、ー９が出てきます。

丁度、（x＋a)(x+b) = x^2+(a+b)+abの形になりますよね。

この特徴を捉えれば、たすき掛けは出来たも同然です。

４x＾２＋５xー９＝０という式がまずありますよね。

４になるためには、１×４。２×２。４×１　があります。
厳密にいえば、（ー１×（ー４））という組み合わせも考えられますが
ーの符号は次の組み合わせで普通考えたほうが楽です。

次にー９になるためには、９×（ー１）　（ー９）×１、３×ー３
（ー３）×３、が考えられますよね。

大事なのはこれからです。

（x＋a)(x+b) = x^2+(a+b)+ab

上の二つの４になるための組み合わせと、ー９になるための組み合わせが

合わせて＋５になるように選びます。

４　　　　９　＝　　　９
　　　　　　　　　　　＋
１　　　　ー１　＝　ー４

　　　　　　　　　　＝５

となるので、４、ー１　１、９の組み合わせが、因数分解の候補です。

（４x＋９）（xー１）となります。
そのまま上から左に並べるだけですね。

で、かけ方に特徴があって、クロス（交差）してかけます。
４かけるー１と、１かける９で出てきた数字をたし、
a+bの数と一致するような組み合わせを見つけます。

これは、解が√混じり分数混じりの整数とならないときには、
あまりおすすめしません。しかし、簡単な式のときには、
かなりの程度まで、この方法でやれば、解の公式のように
複雑な計算を大幅な紙面を割いてやらなくても、解けることが
できます。説明は長く、なにやらややこしいのですが、
とても便利な方法です。

一応蛇足かもしれませんが紹介させていただきました。

お礼

この度はご丁寧にお教えくださりありがとうございます。

こうして言葉でしかお礼がお伝えできませんが
お忙しいところご親切に解答をくださり大変感謝しております。

この度は大変助かりました。ありがとうございます。

回答No.4

RTO

#たまたま因数分解できます というのが　No2さんの回答の要旨です

実際のところ　そう都合よく因数分解できる方程式ばかりではないはずなのですが
「数学の練習問題」という性質上、問題文の作成者は「キリのいい値で因数分解できる」式を提示する傾向にあります

なのであまり深く考えずに　Xやtを　0、１、-1、２、-2・・として代入していくとすぐに片方の解が出ることが多いのです
片方の解が出れば　元の式をその解（この場合は（t-1））で割れば残りの解が出ます

お礼

この度はご丁寧にどうもありがとうございます。

お陰さまで理解することができました。
ご丁寧な解答をありがとうございました。

回答No.3

asuncion

おっと失礼。書き間違いがありました。

試行錯誤の結果、1)は4と1、2)は9と-1
これらを
4 9
1 -1
のように縦に書いてからたすきがけする、というのが正しいです。

お礼

この度はご丁寧にどうもありがとうございます。
お恥かしいことに全くちんぷんかんぷんでしたが、少しずつですが理解できるようになりました。
この度はご親切にありがとうございました。

回答No.2

asuncion

4t^2 + 5t - 9 = 0
解の公式は万能ですので、因数分解ができなそうであれば
それを使えばよいです。というのが、#1さんの回答です。
今回は、たまたま因数分解できます。

1)かけて4になる2つの数を考える。
2)かけて-9になる2つの数を考える。
3)たすきがけして和を求めると5になる。

以上を考えます。
試行錯誤の結果、1)は4と9、2)は1と-1
これらを
4 9
1 -1
のように書き出して、3)の結果を求めると、
4 × (-1) + 9 × 1 = -4 + 9 = 5
となって、めでたしめでたし、となります。

4 9
1 -1

の2行の左側にtを付け加えて、
(4t + 9)(t - 1)
と因数分解できます。

お礼

ご丁寧にどうもありがとうございます。
全くわからなくて困っていたのですが、ご親切にお教えくださり大変助かりました。
お世話になりありがとうございました。

回答No.1

RTO

二次方程式の解の公式を使うと
t=1と-9/4　と言う解が得られる