コンデンサーの問題です

質問

図1のように、真空中に一辺の長さがlの正方形をした薄くて変形しない2枚の金属板A,Bを距離dだけ隔てて平行におきBを固定する。図2はA,Bを上からみた図、図3はA,Bを横からみた図である。図1.図2の斜線部分はAと重なったBの部分を表している。ただし、dはlに比べて十分小さく、以下では、金属板間に生じる電界は一様で金属板の端における電界の乱れは無視できるものとする。また、はじめA,Bには電荷はない。
2枚の金属板A,Bの位置関係を表すため、図3で示したように正方形の一辺に平行な方向にx軸をとる。Aはx軸方向にのみ平行移動できるようになっており、図1でAの左手前にある頂点Pのx座標でAの位置を表すものとする。また、図1でBの左手前にある頂点Qの位置をx軸の原点Oとする。
金属板Aがx=0の位置にあるときAB間の電気容量をCoとすると、Coは真空の誘電率εoを用いて、Co=(εol^2)/d と表される。また、Aが位置xにあるときの電気容量をC(x)とすると、
0<x<lのとき : C(x)=(l-x)Co/l
-l<x<0のとき : C(x)=(l+x)Co/l
と表される。
はじめ、金属板Aをx=0の位置に固定し、AB間に電池をつないで電圧Vをかけ、十分に時間がたってから電池を外した。次に、Aをx軸の正の向きに移動させる。Aが位置x(0<x<l)にあるとき、AB間に蓄えられるエネルギーは( )と表される。

解答には、
コンデンサーに蓄えられている電荷は常にCoVであり、コンデンサーの電気容量は(l-x)Co/lなので、極板間電圧はlV/(l-x)となるから、静電エネルギーは 
(1/2)×{(l-x)Co/l}×{lV/(l-x)}^2=(lCoV^2)/2(l-x) となる。
と書かれていました。
ここで、Aに蓄えられている電荷がすべて、Bと重なっている部分(以下斜線部Aとします)に移動し、Bに蓄えられている電荷がすべて、Aと重なっている部分(以下斜線部Bとします)に移動したと仮定すると、斜線部分で構成されたコンデンサーの電気容量は(l-x)Co/lで、蓄えられている電気量はCoVなので、静電エネルギーは{(CoV)^2}/{(l-x)Co/l}=(lCoV^2)/2(l-x) となり、答えと一致します。
つまり、A,Bに蓄えられている電荷はすべて斜線部分に移動しているということになります。

しかし、Aの持つ正電荷は金属の原子核に含まれる陽子なので、移動することは不可能なのではないかと思います。また、Bにあるのは自由電子なので移動することは可能ですが、斜線部Aに蓄えられている電荷に引きつけられて、電気量の絶対値は斜線部Aと斜線部Bで同じになるので、この斜線部に蓄えられている電気量はその面積に比例すると思います。すなわち、上に書いた仮定は誤りで、電気量は {l(l-x)/(l^2)}CoV=(l-x)CoV/l と表されると思います。
従って、静電エネルギーは斜線部の面積に比例し、
[{(l-x)CoV/l}^2]/2{(l-x)Co/l}={(l-x)CoV^2}/2l になるのではないかと思います。

回答お願いします。

回答No.2

Quarks · ベストアンサー

問題設定に従った解答をすることが求められています。問題には
>金属板間に生じる電界は<<一様>>で金属板の端における電界の乱れは無視できるものとする。
と断っています。この状況になっているとするなら、各電極板に有る電荷は、常に両極板が"重なり合っている領域"に、"均一な分布"をして存在していると判断しなければなりません。念のため、添付図で示しておきましたので、電場の様子をイメージして下さい。
２枚の極板がピッタリ重なっていた状態と、(その後、ゆっくり時間をかけて、極板Ａをズラして)一部だけが重なっている状態とを示しました。電場の様子をイメージしやすいように電気力線を書き加えておきました。
電場が一様であるためには、初めがそうであったように、移動の最中も、電気力線が極板に対して垂直に走っていたはずです。もし、電荷が取り残されて、端の方で電気力線が傾いてしまったとしたら、重なり合っている領域では電気力線は傾いていないので、電場が一様であるという条件を満たしません。ですから、電荷の取り残しは無い、と言っているのです。それが、問題で断っている事態なのです。そして、そのためには、相手極板が無い部分では、電気力線が１本も走っていない状態になっていなければなりません。
細かいことですが、各金属板の総電荷量は変化していませんから、電気力線の総本数も同じままです。つまり、電場は重なり部分で、より強くなっていくこともわかります。

なお、現実にこのような装置を組み上げて、極板をズラした後では、さすがに重なり部分に極く近い領域には、電荷が"はみ出して、分布も不均一な"領域が存在するでしょう。でも、それでは解答がとても困難になってしまうので、単純化した設定になっているのです。

もう一つ、正電荷は陽子だから、正電荷は移動しないはず、という点について。

極板をズラしても、同じ金属板内の各原子の相対的な位置は同じままで、原子核自体が相対的に移動することは無いと考えるのが妥当でしょう。ですから、陽子が極板内を相対的に移動することもありえません。
しかし、我々が観察できるのは、電子や陽子そのものではないことに注意すべきです。
たとえば、導線の両端に電圧を掛けると電流が発生しますが、この電流は、正の電荷の流れでしょうか？　負の電荷の流れでしょうか？　電流を検知しているだけの我々は、その電流の実体を見ているわけではないので、どちらの電荷であるかを知ることができません。いえ、どちらであると考えても構わないと言うべきでしょう。よく知られているように、正の電荷が右へ移動したように見えることと、負の電荷が左に移動したように見えることとは、同等であって、どちらで考えても構わないのです。
ですから本当は、自由電子の一部が移動した※のですが、便宜上、正の電荷が(電子の移動とは逆の方向に)移動したものとしてしまって、見方を単純化しているに過ぎません。
※次のような事態が起こっていたのでしょう。
はじめ、両極板が完全に重なり合っていて、Ａが正に帯電した状態だったとします。このとき、電荷分布は一様ですから、単純に見ると、どの原子も、平均して何個かの電子が不足している状況にあります。
ここで、Ａをx軸の正の方向(以下では"右"とします)にズラしていきます。Ａの右端付近は、各原子の電子は、Ｂの負電荷の影響で、電子がより右へ追いやられることになります。つまり、初めの状態に較べて、電子が多くなっているのです。相対的に左の方では、電子の不足状態がより強くなります。これは、あたかも、Ａの左側に正電荷が増加し、右の方では電子と陽子の個数のアンバランスが補正されて、中性になっていった、と観察されます。つまり、Ａの正電荷が、右から左へ"移動"したのと同じ結果になった、ということです。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
理解することができました。

回答No.1

lv4u

私も、まだ書籍によって電磁気学を学び直している途中のもので、不十分だと思いますが、少しだけ書きます。

質問者さんの考えの問題点は

※電気の流れを、正電荷と電子の流れと考えていること

これは、学校の物理の教科書や一般的なコンデンサーの説明が誤っているから、しかたないのかもしれませんね。

http://djweb.jp/power/physics/physics_01.html
上記の大学ジャーナルのサイトで松田拓也先生が

・・・・
電線の外側を電磁場のエネルギーが伝わり、銅線内のすべての電子に対して「動け」という命令を「電磁波」の形で伝えるから、≪電流≫は光速で伝わるのです。
・・・・

と書かれているように、電気の流れは、正電荷（陽子）や電子が流れているわけではありません。電子の流れは、毎秒0.1mmであり、１時間では36cmです。カタツムリよりも遅いですね。
これでは、スイッチをいれても、すぐに電球は点灯できませんし、電気の速度である光速度近くには、はるかに届きません。
電流（電力）は、空間を電磁波として伝わっているんです。

こう考えると、「コンデンサの電極に正電荷・電子が蓄積される」と考えるのは、誤りだということになります。上記の理論をベースに考えれば、「コンデンサの電極間に電磁波が蓄積される」と考えるほうが素直でしょうね。そして、対面する電極間に電場が蓄積されてゆく。その電場を電荷に換算すると、質問者さんが書かれたような式になるのだと思います。こう考えれば、金属の原子核に含まれる陽子の数とか、自由電子の数は問題ではなくなると思います。

なお、上記の考え方は、すでに正統と認められている松田先生の理論と、現在も研究・発展途上にある「コロンブスの電磁気学（新装改訂カラー版第１巻）／宇佐見　保」（http://members.jcom.home.ne.jp/u333/columbus4%20gairyaku.htm）の前書きを参考にした、私の考えですので、「これが正解である！」とはいえませんが、すくなくとも質問者さんの疑問に対して、回答となる「仮説」のひとつになるのではないかと思います。

ちなみに、「コロンブスの電磁気学（新装改訂カラー版第１巻）」は、アンペールの法則、ファラデーの法則をぶった切り、さらにはマックスウエルの方程式さえも、実験データを元に訂正しようとしています。
この書物を読むことで、学校の物理の成績がアップするとは思いませんが、「学校で教えていることは、間違っている」と思えば、「間違っている理論だけど、点数をとるためには、いまのところ、この理論を受け入れるしかない」と割り切って物理の勉強ができるのではないでしょうか？
また、大学院などで物理をやっている方々は、この本からいろいろと研究テーマのネタが得られるのではないかと思います。

お礼

>「コロンブスの電磁気学（新装改訂カラー版第１巻）」は、アンペールの法則、ファラデーの法則をぶった切り、さらにはマックスウエルの方程式さえも、実験データを元に訂正しようとしています。

スゴイですね。ますます物理に興味が湧いてきました。
でも、今は時間がないので大学受験の為の勉強として割り切るしかないですね。