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微分方程式
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(1-y^2)dx=y(1-x)dy 変数分離して dx/(1-x)=ydy/(1-y^2) dx/(x-1)=(1/2)(1/(y-1)+1/(y+1))dy 積分して ln|x-1|+C1=(1/2)ln|(y-1)(y+1)| ln(C2(x-1)^2)=ln|(y-1)(y+1)|,C2=e^(2C1)>0 C2(x-1)^2=±|y^2-1| C2(x-1)^2=y^2-1 or C2(x-1)^2=1-y^2 C2(x-1)^2=y^2-1(C2>0) …これは双曲線で閉曲線ではないので不適。 C2(x-1)^2+y^2=1 (C2>0)…これは楕円で閉曲線で適する。 C2=1/a^2(a>0)とおけば (x-1)^2/a^2 +y^2=1 (a>0) ← 答え
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- spring135
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(1-y^2)dx=y(1-x)dy より変数分離して dx/(x-1)=ydy/(y^2-1) 両辺積分して log(x-1)=(1/2)log(y^2-1)+c 右辺が思いつかなければ、微分して元に戻ることを確認してください。 Cは積分定数。条件に合わせて決める。 2log(x-1)-log(y^2-1)=2C (x-1)^2/(y^2-1)=C' (x-1)^2/C'=y^2-1 C'=-a^2とすると (x-1)^2/a^2+y^2=1
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