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定圧比熱-定積比熱と理想気体の関係
percussionistの回答
- percussionist
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まずは簡単に答えます。 内部エネルギー＝その容器内の全分子の運動エネルギーです。 つまり、１/２×ｍｖ＾２×N（Nはmol数。） ね！この式からV（体積）に依存しないって一目瞭然でしょ？ 次。マイヤーの式というのがあります。高校物理の範囲です。 定積モル比熱をCv、定圧モル比熱をCｐとすると、 Cp＝Cｖ＋R （Rは気体定数）が成り立ちます。 はい。そうです。Cｐ－Cｖ＝Rとすぐ出ますね。こういう式があるのです。 体積の方の説明です。 高校物理の分子運動論の問題です。 一辺がLの立方体のある一面をSとする。１つの分子が面Sに一回衝突するときに力積２ｍｖを与える。一秒間に、ｖ/２L回衝突するから、一秒間に２ｍｖ×ｖ/２Lの力積を面Sは受ける。力積はF⊿ｔ。⊿ｔ＝１より、面Sが単位時間に受ける力はｍｖ＾２/L。 統計法則より速さを一般化（二乗平均＜ｖ＾２＞を用いる）する。 その際、ｘ、ｙ、ｚ方向を＜ｖ＾２＞で表すこととなるから、 これ以後、ｖの部分を１/３＜ｖ＾２＞として扱う。 分子全体のモル数をNとする。 単位時間に全分子が面Sに与える力積はｍN＜ｖ＾２＞/３L。 それを面Sの面積L^2で割ると圧力の値となる。 分母のL＾３を立方体の体積Vであらわすと、 P＝ｍN＜ｖ＾２＞/３V。 Vを移項。PV＝ｍN＜ｖ＾２＞/３。 PV＝ｎRTより、 ｎRT＝ｍN＜ｖ＾２＞/３ 両辺２で割る。右辺のN/３を移項。 ３ｎRT/２N＝ｍ＜ｖ＾２＞/２ アボガドロ定数をNaとするとNa＝N/ｎ。 ボルツマン定数をｋとするとｋ＝R/Na。 よって、３ｋT/２＝ｍ＜ｖ＾２＞/２。これはよく見る式。 右辺を見てわかる通り、これは一分子の運動エネルギー。全分子の運動エネルギーはN倍。 よって、 ３ｎRT/２＝ｍN<ｖ＾２>/２ 式で表すと、こんな感じ。 左辺が内部エネルギー、右辺が全分子の運動エネルギー。 ｎRTはPVじゃん！といわないでくださいね！P＝は上で示した通り、分母にVがいますのでVは消えますよ。 とにかく、内部エネルギー＝全分子の運動エネルギーです。
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