静電容量について

質問

下記の問題の解答の意味がわかりません。

問題

『下図に示す直流回路において、スイッチSWを接（ON）から断（OFF）にしたとき、静電容量Cの両端電圧Vcが10Vから１６Vに変化した。このときCの値として、正しいものを下の番号から選べ。ただし、Vcは定常状態の値とする。』

解答

SWがOFFのときにコンデンサに加わる電圧VcをVｃｆとすると、直列接続された二つのコンデンサに加わる電圧の比は、次式のように静電容量の比で表すことができる。

Vcf : E = C1 : C1+C (1)

SWがONのときのVcをVcnとすると、

Vcn : E = C1 : C1+C2+C　　　(2)

式(1)÷式（２）に題意の値を代入すると、C=4μF (Ans.)

以上が解答なのですが、式（１）（２）について
なぜ、このようになるのかがわかりません。

どなたか教えていただけないでしょうか？

合成静電容量を求めたあと、Q=CVでの電圧との比例関係を使用しているのでしょうか？

ご回答よろしくお願い申し上げます。

回答No.1

l_____________l · ベストアンサー

まず、参考URLに示したように、直列接続したコンデンサの各々にかかる電圧は、コンデンサの容量に反比例して配分（＝コンデンサの容量の逆数に比例して配分）されるということを踏まえます。これは基本事項なので、覚えておくべき事項です。

なぜそうなるかというと、質問の最後にあるように、
C1とCは直列接続なので、どちらのコンデンサにも蓄えられる電荷Qは同じになり、

Q ＝ C・Vcf ＝ C1・Vc1f　　(a)　　　（※ SWオフ時の C1 にかかる電圧を Vc1f とする）

と表せるので、これから、

Vcf：Vc1f ＝ C1：C ＝ 1/C ： 1/C1　　(b)

が導けるからです。それぞれのコンデンサにかかる電圧比が容量の逆数の比になっていますね。

これらのことを土台にして、SWがオフのときの合成容量を Cs とすれば、

Vcf：Vc1f：E ＝ 1/C：1/C1：1/Cs　　　(c)

という関係になります。ここで、Vcf＋Vc1f＝E、1/C＋1/C1＝1/Cs という関係も成り立っていることにも留意してください。
そして、(c)式両辺のそれぞれ真ん中の項を省略すれば

Vcf：E ＝ 1/C：1/Cs　　　(d)

となりますが、ここで　Cs ＝ (C・C1)／(C+C1)　なのでこれを(d)に代入すると

Vcf：E ＝ 1/C：1/Cs ＝ 1/C：(C+C1)／(C・C1) ＝ C1：C+C1

となり(1)式が導けます。

または、SWオフのときは、容量 C が容量 C＋C2 に増えただけですので、同様に計算すれば、(2)式になることは問題ないと思います。

ポイントは、「直列接続したコンデンサの各々にかかる電圧はコンデンサの容量の逆数に比例して配分される」ということです。

参考URL：

http://www.nteku.com/condenser/condenser_setuzoku.aspx

お礼

ありがとうございます。
ばっちり理解できました。

ちなみにSWオンのときは、容量Cが容量C+C2に増えただけなので

Vcn : Vc1n : E = 1/(C+C2) : 1/C1 :1/Csn ・・・(e)

Vcn + Vc1n = E , {1/(C+C2)} + 1/C1 = 1/Csn を留意し、(e)より

Vcn : E = 1/(C+C2) : 1/Csn ・・・(f)

Csn = {C1(C+C2)/C1+(C+C2)}なので(f)に代入すると

Vcn : E = 1/(C+C2) : 1/Csn =1/(C+C2) : {C1+(C+C2)}/C1(C+C2)

= C1/(C+C2) : {C1+(C2+C)}/(C+C2) = C1 : C1+C+C2

となり、解答を導くことができました。

「直列接続したコンデンサの各々にかかる電圧はコンデンサの容量の逆数に比例して配分される」は、手持ちの参考書に追記しておきます。

回答No.2

tadys

問題が変です。

ＳＷをオンからオフに変化させた場合、Ｃ１とＣの電荷の変化量の絶対値は同じです。
Ｃ１とＣの電圧の変化の絶対値も同じですから、Ｃ１とＣの容量も同じでなければなりません。
直流電源が変化をしていないのであれば、ＳＷのオン→オフで電圧は変化しません。

ＳＷをオフからオンにした時に電圧が１６Ｖから１０Ｖになったという問題なら意味が有ります。
ただし、初期条件としてＣ２の電圧がゼロと言うのが必要になります。

出題者は 直流電圧を１６uFと４uFで分割した時と、１６uFと１６uFで分割した時の話を混同しているのでしょう。
入試の問題だったら大騒ぎですね。

お礼

ご回答ありがとうございました。

確かに問題が変です。

第一級陸上無線技術士の過去問です。

国家試験ですのでちゃんと解きやすいものにしてもらいたいものです。