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立方体を切断する平面について
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自明に思えることでも、言葉で表すのは一苦労ですね。 >1.もっとも合理的な解答とその理由を教えてください。 最も合理的かどうかは分かりませんが、考えたことを書きます。 長方形 ACGE を含む平面を L の周りにθという小さな角度だけ回転させ、その平面と辺 CD が交点を持っている状況を考えます。その交点を C'、平面と辺 EF との交点を E' します。 このとき、長方形 ACGE を含む平面と AC'GE' を含む平面が成す角度はθであり、三角錐 C'ACG と E'AEG は互いに鏡像(鏡映)となっているので、2 つの三角錐の体積は等しいです。三角柱 ACDEGH と ACBEGF も体積が等しいので、回転後の平面により立方体が 2 分割されたできた 2 つの立体も、体積が等しいことになります。 上の考察では長方形 ACGE を含む平面からスタートしてそれを少し回転させましたが、ADGF や ABGH からスタートしても、同様なことが言えます。 つまりθの値としては 0°~ 360°、いくつであっても、2 分割されたできた 2 つの立体の体積は等しいことになります。 >2.また面acge を拡大した平面に直線L が含まれることはどうやって証明できますか? 線分 AG は長方形 ACGE の対角線なので、AG は ACGE を含む平面に含まれています。また、AG は L の一部なので、L は AG を含む平面に含まれています。よって、L は ACGE を含む平面に含まれています。
その他の回答 (2)
以下、「等分」の意味が鏡像の関係にある2つの立体の場合にも使 われると仮定しています。つまり、平行移動と回転だけでなく裏返し を使って移り合う場合をも含むという意味です。 立方体は線分agの中点に関して点対称ですので、agを含む任意の 平面で分割すると、別れた2つの立体は互いに合同です。 agを含むどんな平面で切ってもいいです。 わかりにくければ、少々大げさですが以下のように考えてみたら如何 でしょうか。 agの中点を原点とみます。 agの垂直二等分面上の原点以外の一つの点pを固定して(pはC上に あってもなくてもよい)、それぞれの点を原点を始点とする位置ベクト ルと同一視して A={q=(x,y,z)∈C;p・q≧0} B={q=(x,y,z)∈C;p・q≦0} (「・」はベクトルの内積) と置くと、A、Bはagを通りopに垂直な平面をVによって分割された Cの2つの部分とみることができます。 C=A∪B、A∩B=V∩C ここまで確かめてみてください。 写像f:A→Bを、 f((x,y,z))=(-x,-y,-z) によって定義すると、任意の(x,y,z)∈Aに対してf((x,y,z))∈Bであり、 逆に、任意の(x,y,z)∈Bに対してf((x,y,z))∈Aでもあります。 これも確かめてみてください。 ※もし確かめ方がわからなければ、座標を入れて考えてみる のも一法です。 a=(1,1,1)、b=(1,1,-1)、c=(1,-1,-1)、d=(1,-1,1)、 e=(-1,1,1)、f=(-1,1,-1)、g=(-1,-1,-1)、h=(-1,-1,1)、および C={(x,y,z);-1≦x≦1,-1≦y≦1,-1≦z≦1} などとしてみるといいでしょう。 fは原点についての対称変換であって任意の二点間の距離を変え ませんから、AとBは同じ形で同じ大きさで互いに鏡影の関係であ ることがわかります。 >2.また面acge を拡大した平面に直線L が含まれることはどう >やって証明できますか? 平面の任意の二点を結ぶ直線は元の平面に含まれることの 証明ですか?それは明らかとしか言いようがありません。 質問者さんが考える平面や直線の定義を書いていただければ、 説明できることがあるかもしれません。
お礼
詳しい説明ですが私には難解でした。 ありがとうございます。
- okormazd
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LGは立方体の回転対称軸だから、LGを含む任意の面が条件を満たすでしょう。だから、どこでもいい、無限にある。
お礼
ありがとうございます。
お礼
一番わかりやすかったです。 ありがとうございます。